Задачи по теме «Основные теоремы теории вероятностей»

6.1На предприятии рассматривается вопрос о выпуске новой зубной пасты. При обсуждении стратегии сделаны следующие выводы: маркетинговое исследование будет удачным с вероятностью 0,65; при условии удачного маркетингового исследования вероятность успешного выпуска товара на рынок равна 0,55; полная вероятность успешного выпуска товара на рынок составляет 0,4.

а) Найдите вероятность того, что маркетинговое исследование окажется удачным и выпуск товара на рынок также окажется успешным.

б) Найдите условную вероятность того, что выпуск товара на рынок окажется успешным при условии отсутствии успеха в маркетинговом исследовании.

6.2 Магазин изучает модель поведения своих покупателей. Вероятность того, что посещение магазина завершится покупкой, составляет 0,35. Вероятность того, что покупатель был в этом магазине в течение предыдущего месяца, равна 0,2. Из тех, кто ничего не купил, в последний месяц посещали магазин 12% (условная вероятность).

а) Какой процент покупателей часто посещают магазин, но редко делают покупки (эту категорию покупателей составляют те, кто не совершает покупку и был в магазине в течение прошлого месяца)?

б) Найдите условную вероятность того, что посетитель совершит покупку при условии, что он был в магазине в течение прошлого месяца.

6.3Для типичных посетителей кондитерского магазина вероятность покупки конфет составляет 0,23, вероятность покупки печенья равна 0,76, а условная вероятность покупки печенья при условии покупки конфет составляет 0,85.

а) Найдите вероятность покупки типичным посетителем и конфет, и печенья.

б) Найдите вероятность того, что типичный посетитель делает покупку (покупает либо конфеты, либо печенье).

6.4Организация часто принимает участие в конкурсах на выполнение различных научных проектов. Если при этом разрабатывается детальный финансовый план (30% всех проектов), то существует условная вероятность 80%, что удастся заключить контракт. Если производятся только быстрые расчеты, то в этом случае условная вероятность заключения контракта составляет только 10%.

а) Найдите вероятность того, что удастся добиться заключения контракта.

б) Если заключить контракт не удалось, чему равна условная вероятность, что был разработан детальный финансовый план?

6.5Из всех телефонных звонков, на которые отвечает сотрудник отдела сбыта, в 75% случаев запрашивается информация, а в 15% случаев сразу делается заказ (без запроса информации). Кроме того, в 12% звонков после запроса информации также делается и заказ.

а) Найдите условную вероятность того, что телефонный звонок приводит к получению заказа, если в этом же звонке запрашивалась информация.

б) Найдите условную вероятность того, что покупатель выбрал товар заранее (звонок не связан с получением информации при условии, что сделан заказ).

6.6Организация подала заявку на участие в конкурсе на крупный государственный заказ. По оценкам экспертов существует вероятность в 35%, что предпочтение будет отдано заявкам конкурентов. Однако руководитель считает, что даже если это произойдет, то с вероятностью 10% он все равно сможет заключить контракт, убедив комиссию. С другой стороны, если предпочтение изначально будет отдано заявке данной организации, существует вероятность 5%, что контракт будет потерян в результате действий конкурентов.

а) Найдите вероятность того, что контракт удастся заключить.

б) Найдите условную вероятность того, что предпочтение отдано заявке данной организации при условии, что она заключила контракт.

6.7Вероятность успешной продажи нового товара в Москве равна 0,6. Вероятность его успешной продажи в Санкт-Петербурге составляет 0,7. А вероятность того, что товар будет успешно продаваться в обоих городах, равна 0,55.

а) Найдите вероятность успешной продажи товара хотя бы в одном из городов.

б) Найдите условную вероятность, что товар будет успешно продаваться в Санкт-Петербурге при условии, что он успешно продается в Москве.

6.8Предприятие начинает выпускать новые товары – детскую коляску и детское автомобильное кресло. Вероятность того, что эти товары будут иметь успех на рынке, составляет соответственно 0,8 и 0,75. Если коляски будут пользоваться успехом, то можно увеличить продажи кресел, предлагая их покупателям колясок: в этом случае продажи кресел будут успешными с условной вероятностью 0,85.

а) Найдите вероятность того, что успешными окажутся продажи хотя бы одного из товаров.

б) Найдите вероятность того, успех не будет достигнут ни для одного из товаров.

6.9Организация продает вязаные изделия по каталогам. Установлено, что 6% корреспондентов, получивших каталог, заказали комплект – шапочку и шарф, а 4% корреспондентов заказали варежки. Причем из тех, кто заказал комплект, варежки заказали 55%.

а) Какой процент корреспондентов заказали и комплект, и варежки?

б) Какой процент корреспондентов не заказали вообще ничего?

6.10Маркетинговые исследования, проведенные издательством, показывают, что 24% покупателей журнала имеют высокий доход, а 17% хорошо образованы. 12% покупателей имеют и высокий доход, и хорошее образование.

а) Какой процент покупателей, имеющих хорошее образование, имеет высокий доход (условная вероятность)?

б) Какой процент покупателей, имеющих высокий доход, не имеет хорошего образования?

6.11Для типичных посетителей кондитерского магазина вероятность покупки конфет составляет 0,73, вероятность покупки печенья равна 0,26, а условная вероятность покупки печенья при условии покупки конфет составляет 0,25.

а) Найдите вероятность покупки типичным посетителем и конфет, и печенья.

б) Найдите условную вероятность покупки конфет при условии покупки печенья.

6.12Производственная линия оснащена автоматическим сканером для выявления дефектов продукции. Если изделие имеет дефект, то сканер выявит его с вероятностью 90%. Если изделие на самом деле не имеет дефектов, то сканер с вероятностью 10% все равно может отнести его к дефектным. Известно, что в последней партии продукции 2% изделий действительно имеют дефекты.

а) Какой процент дефектных изделий выявит сканер для последней партии?

б) Найдите условную вероятность того, что изделие действительно имеет дефект, если сканер определяет его, как дефектное.

6.13Установлено, что 2,1% всех компакт-дисков, выпускаемых фабрикой, имеют дефекты по причине низкого качества используемых материалов, а 1,3% - дефекты, связанные с ошибками рабочих. При этом оба дефекта имеют 0,2% дисков.

а) Найдите вероятность того, что компакт-диск имеет хотя бы один дефект.

б) Найдите условную вероятность того, что диск имеет дефект по причине низкого качества материалов, если он имеет дефект, вызванный ошибкой рабочих.

6.14Начальник бригады маляров считает, что заказ с вероятностью 80% можно выполнить в срок, если принять на работу еще одного рабочего. Без дополнительного рабочего вероятность успеть в срок составляет 40%. Однако убедить руководство нанять еще одного рабочего удастся только с вероятностью 70%.

а) Найдите вероятность выполнения заказа в срок.

б) Найдите условную вероятность того, что дополнительный рабочий был принят, если заказ был выполнен в срок.

6.15На фондовом рынке появились акции только что образованного холдинга, которые можно приобрести с вероятностью 15%. Финансовый аналитик считает, что когда акции удается приобрести, вероятность их высокой доходности составляет 35%, а когда приобрести акции не удается, они с вероятностью 80% окажутся высоко доходными.

а) Найдите вероятность того, что акции удастся приобрести и они окажутся высоко доходными.

б) Найдите условную вероятность того, что акции удается приобрести, если они имеют высокую доходность.

6.16Вероятность получения патента на использование новой технологии в производстве составляет 0,6. Если организация получит патент, вероятность роста прибыли составит 0,9. Если патент не будет получен, вероятность роста прибыли составляет только 0,3.

а) Найдите вероятность роста прибыли.

б) Найдите условную вероятность того, что патент был получен, если прибыль выросла.

6.17Предприятие начинает выпускать новые товары – детскую коляску и детское автомобильное кресло. Вероятность того, что эти товары будут иметь успех на рынке, составляет соответственно 0,85 и 0,7. Если коляски будут пользоваться успехом, то можно увеличить продажи кресел, предлагая их покупателям колясок: в этом случае продажи кресел будут успешными с вероятностью 0,8.

а) Найдите вероятность того, что продажи обоих товаров будут успешными.

б) Найдите вероятность того, что кресла будут пользоваться успехом, а коляски – нет.

6.18Производственная линия оснащена автоматическим сканером для выявления дефектов продукции. В последней партии продукции сканер показал наличие дефектов у 8% изделий, причем известно, что только 50% из этих изделий действительно имеют дефекты.

Более тщательная проверка показала, что на самом деле дефектных изделий 5%.

а) Найдите процент невыявленных сканером дефектных изделий.

б) Найдите вероятность того, что дефектное изделие будет выявлено, т.е. что изделие определяется как дефектное при условии, что оно действительно имеет дефект.

6.19Брокер может приобрести акции одной из трех компаний: А, В или С. Риск прогореть при покупке акций компании А составляет 50%, В – 40%, С – 20%. Брокер решает вложить все деньги в акции одной случайно выбранной компании.

а) Найдите вероятность того, что брокер прогорит.

б) Найдите условную вероятность приобретения акций компании С, если брокер прогорел.

6.20Исследуется динамика курсов валют А и В. Статистика торгов на валютной бирже свидетельствует:

- при возрастании курса валюты А курс валюты В растет в 80% случаев;

- при снижении курса валюты А курс валюты В растет в 25% случаев;

- при неизменности курса валюты А курс валюты В растет в 50% случаев.

Варианты изменения курса валюты А имеют одинаковую вероятность.

а) Найдите вероятность того, что на последних торгах курс валюты В вырос.

б) Найдите условную вероятность падения курса валюты А, если курс валюты В вырос.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: