Первый множитель в (6) обращается в нуль в точках, для которых

ГОУ ВПО Рыбинская государственная авиационная технологическая

Академия им. П.А. Соловьева

КАФЕДРА ОБЩЕЙ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

УТВЕРЖДЕНО

на заседании методического

семинара кафедры ОиТФ

« » _________ 2007 г.

Зав.каф. Пиралишвили Ш.А.

Лаборатория «Волновая механика»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № ВМ – 5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦ СПЕКТРА БЕЛОГО СВЕТА

С ПОМОЩЬЮ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ

Рыбинск 2007

ТРЕБОВАНЯИ ПО ТЕХНИКЕ БЕЗОПАСНОСТИ

Лабораторная установка имеет подключение к электрической сети напряжением 220 В и частотой 50 Гц. Требуется соблюдать нормы электробезопасности согласно инструкции №170.

Специальные указания: гониометр Г-5 (прибор для измерения углов) выверен, требует аккуратного обращения.

Приступать к исполнению работы можно только после ознаком­ления с инструкцией по технике безопасности и описанием прибора.

Гониометр Г-5, на котором предстоит выполнить работу, точный оптический прибор, служащий для измерения углов с точностью до 1 секунды. Прибор настроен так, чтобы обеспечить успешное прове­дение измерений при минимальных затратах времени, поэтому не ре­комендуется сбивать настройку прибора. Необходимо пользоваться только органами управления, помеченными цифрами.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: исследование дифракционного спектра, создаваемого дифракционной решеткой.

ПРИБОРЫ И ОБОРУДОВАНИЕ: дифракционная решетка с периодом d = 0,01 мм, гониометр Г-5, осветитель, понижающий трансформатор.

1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Рис. 1.

Ди­фракция заключается в отклонении пучков волн от прямолинейного распростране­ния и наблюдается практически при прохождении волн через отверс­тия в экранах или в пространстве экранирующих объектов, когда их размеры сравнимы с длиной волны. На объектах, значительно превышающих по своим размерам длину световой волны, дифракцион­ная картина будет локализоваться очень далеко и может оказаться недоступной для наблюдения. Если, например, размеры экра­нирующего свет объекта составляют сотые доли миллиметра, то дифракционная картина может быть локализована в пределах небольшого лабораторного пространства, если же в качестве экранирующего объ­екта взять диск диаметром 10 см, то дифракционная картина локали­зуется на расстоянии порядка 1 км и для ее наблюдения необходимо создание специальных условий.

На возможность геометрической интерпретации дифракции указывает принцип Гюйгенса. Пусть на непрозрачный экран с отверстием падает параллельный пучок света, которому соответствует плоский фронт волны (рис.1). Открытая часть, волнового фронта может рассматриваться как совокупность огромного числа виртуальных (от латинского virtual – возможный, вероятный) источников вторичных сферических элементарных волн. Согласно принципу Гюйгенса новый фронт волны – это огибающая всех элементарных фронтов волн. Даль­нейшее направление распространения волны определится направления­ми нормалей к волновому фронту. Из рис.1следует, что свет попа­дает в область геометрической тени. Однако, указывая на геометри­ческую возможность дифракции, принцип Гюйгенса не позволяет про­вести аналитическое исследование дифракционной картины.

Анализ состояния светового поля за препятствием может быть выполнен на основе принципа Гюйгенса-Френеля, суть которого состоит в том, что световое колебание в точке пространства определя­ется как результат сложения колебаний от отдельных участков открытой части волнового фронта с учетом их фазы и амплитуды.

Рис. 2.

Дифракция плоских волн была впервые рассмотрена Фраунгофером.

Пусть на бесконечно длинную щель падает плоская световая волна (рис2). Поместим за щелью собирающую линзу, а в фо­кальной плоскости линзы – экран. Волновая поверхность падаю­щей волны, плоскость щели и экран па­раллельны друг другу. Поскольку щель бесконечна, картина, наблюдаемая в любой плоскости, перпендикулярной к щели, будет одинакова. Поэтому доста­точно исследовать характер картины в одной такой плоскости, например в пло­скости рис.2. Все вводимые в даль­нейшем величины, в частности угол , образуемый лучом с оптической осью линзы, относятся к этой плоскости.

Разобьем открытую часть волновой поверхности на параллель­ные краям щели элементарные зоны ширины . Вторичные волны, посылаемые зонами в направлении, определяемом углом , соберутся в точке экрана . Каждая элементарная зона создаст в точке колебание , где Е – напряженность электромагнитного поля световой волны. Амплитуда колебания, возбуждаемого зоной в любой точке экрана, будет зависеть только от площади зоны. Площадь пропорциональна ширине зоны . Следовательно, амплитуда колебания , воз­буждаемого зоной ширины в любой точке экрана, имеет вид

,

где – константа.

Обозначим алгебраическую сумму амплитуд колебаний, воз­буждаемых в некоторой точке экрана всеми зонами, через . Ее можно найти, проинтегрировав по всей ширине щели :

.

Отсюда , и, следовательно,

.

Теперь определим фазовые соотношения между колебаниями . Сопоставим фазы колебаний, возбуждаемых в точке элементар­ными зонами с координатами 0 и (рис. 2). Падающая волна –плоская, фронт ее отклоняется в результате дифракции на угол φ и занимает положение OQ после прохождения щели, где Q – основание перпендикуляра, опущенного из точки О.Оптические пу­ти и таутохронны (рис.2). Поэтому разность фаз между рассматриваемыми колебаниями образуется на пути = . Если начальную фазу колебания, возбуждаемого в точке элементарной зоной, находящейся в середине щели , положить равной нулю, то начальная фаза колебания, возбуждаемого зоной с координатой , будет равна ( – длина волны в данной среде).

Таким образом, колебание, возбуждаемое элементарной зоной с координатой в точке (положение которой определяется углом ), может быть представлено в виде

(имеется в виду вещественная часть этого выражения).

Проинтегрировав это выражение по всей ширине щели, найдем результирующее колебание, возбуждаемое в точке открываемым щелью участком волновой поверхности:

.

Вынесем множители, не зависящие от , за знак интеграла. Кроме того, введем обозначение . В результате получим

Выражение в фигурных скобках определяет комплексную ам­плитуду результирующего колебания. Приняв во внимание, что разность экспонент, деленная на , представляет собой , можно написать

Рис. 3.

.

Последнее выражение является вещественным. Его модуль пред­ставляет собой обычную амплитуду результирующего колебания:

. (1)

Для точки, лежащей против центра линзы, . Подстановка этого значения в формулу (1) дает для амплитуды значение . Этот результат можно получить более простым путем. При колебания от всех элементарных зон приходят в точку в одинаковой фазе. Поэтому амплитуда результирующего колебания рав­на алгебраической сумме амплитуд складываемых колебаний.

При значениях , удовлетворяющих условию: , т. е. в случае, если

, (2)

амплитуда обращается в нуль. Таким образом, последнее условие определяет положения минимумов интенсивности. Отметим, что представляет собой разность хода лучей, идущих в точку от краев щели (см. рис.3).

Последнее условие легко получить из следующих соображений. Если разность хода от краев щели равна , открытую часть волновой поверхности можно разбить на равных по ширине зон Френеля, причем разность хода от краев каждой зоны будет равна (см. рис. 3, выполненный для ). Колебания от каждой пары соседних зон взаимно погашают друг друга, так что резуль­тирующая амплитуда равна нулю. Если для точки разность хода = ,число зон будет нечетным, действие одной из них окажется некомпенсированным и наблюдается максимум интенсивности.

Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, тогда из выражения (1) получаем

, (3)

где – интенсивность в середине дифракционной картины (против центра линзы), – интенсивность в точке, положение которой определяется данным значением .

Из последней формулы получается, что . Это означает, что дифракционная картина симметрична от­носительно центра линзы. Заметим, что при смещении щели параллельно экрану (вдоль оси на рис. 2) дифракционная картина, наблюдаемая на экране, остается неподвижной (ее середина лежит против цент­ра линзы).

Рис. 4.

Напротив, смещение линзы при неподвижной щели сопровождается таким же смещением картины на экране.

График последней функции изображен на рис.4. По оси абс­цисс отложены значения , по оси ординат – интенсивность .

Количество минимумов интенсивности определяется отношением ширины щели к длине волны . Из условия (2) следует, что . Модуль не может превысить единицу. Поэтому , откуда .

При ширине щели, меньшей длины волны, минимумы вообще не возникают. В этом случае интенсивность света монотонно убывает от середины картины к ее краям.

Краям центрального максимума соответствуют значения угла , получающиеся из условия . Эти значения равны . Следовательно, угловая ширина центрального мак­симума равна .

В случае, когда , значение можно положить рав­ным . Тогда формула для угловой ширины центрального мак­симума упрощается следующим образом:

.

Решим задачу о дифракции Фраунгофера от щели методом гра­фического сложения амплитуд. Разобьем открытую часть волновой поверхности на очень узкие зоны одинаковой ширины. Колебание, возбуждаемое каждой такой зоной, имеет одинаковую амплитуду и отстает по фазе от предыдущего колебания на одну и ту же ве­личину , зависящую от угла , определяющего направление на точ­ку наблюдения . При разность фаз равна нулю и векторная диаграмма имеет вид, показанный на рис.5 а. Амплитуда ре­зультирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний. Если , колебания от краев щели нахо­дятся в противофазе. Соответственно векторы располагаются вдоль полуокружности длиной (рис. 5. б). Следовательно, результирующая амплитуда равна . В случае, когда , колебания от краев щели отличаются по фазе на . Соответствующая векторная диаграмма изображена на рис. 5. в. Векторы располагаются вдоль окружности длиной . Резуль­тирующая амплитуда равна нулю – получается первый минимум. Первый максимум получается при . В этом случае колебания от краев щели отличаются по фазе на . Строя после­довательно векторы , мы обойдем полтора раза окружность ди­аметра (рис. 5.г). Диаметр этой окружности и есть амплитуда первого максимума. Таким образом, интенсивность первого максимума равна . Аналогично можно найти и относительную интенсивность остальных максимумов. В итоге получится следующее соотношение:

.

Рис. 5.

Таким образом, центральный максимум значительно превосходит по интенсивности остальные максимумы; в нем сосредоточивается основная доля светового потока, проходящего через щель.

В случае, когда ширина щели очень мала по сравнению с расстоя­нием от щели до экрана, лучи, идущие в точку от краев щели, будут практически параллельными и в отсутствие линзы между щелью и экраном. Следовательно, при падении на щель плоской волны будет наблюдаться дифракция Фраун­гофера. Все полученные выше формулы будут справедливыми, причем под в этих формулах следует понимать угол между направлением от любого края щели к точке и нормалью к плоскости щели.

Дифракционной решеткой называется совокупность большого числа одинаковых, отстоящих друг от друга на одно и то же рас­стояние щелей (рис. 6). Расстояние между серединами соседних щелей называется периодом решетки.

Расположим параллельно решетке собирающую линзу, в фо­кальной плоскости которой поставим экран. Выясним характер ди­фракционной картины, получающейся на экране при падении на решетку плоской световой волны (для простоты будем считать, что волна падает на решетку нормально). Каждая из щелей даст на экране картину, описываемую кривой, изображенной на рис. 4. Картины от всех щелей придутся на одно и то же место экрана (независимо от положения щели, центральный максимум лежит против центра линзы). Если бы колебания, приходящие в точку от различных щелей, были некогерентными, результирующая картина от щелей отличалась бы от картины, создаваемой одной щелью, лишь тем, что все интенсивности возросли бы в раз. Однако, коле­бания от различных щелей являются в большей или меньшей сте­пени когерентными; поэтому результирующая интенсивность будет отлична от ( – интенсив­ность, создаваемая одной щелью).

В дальнейшем мы будем пред­полагать, что радиус когерентно­сти падающей волны намного пре­вышает длину решетки, так что колебания от всех щелей можно считать когерентными друг отно­сительно друга. В этом случае ре­зультирующее колебание в точ­ке , положение которойопределяется углом , представляет собой сумму колебаний с одинаковой амплитудой , сдвинутых друг относительно друга по фазе на одну и ту же величину . Согласно формуле (3) интенсивность при этих условиях равна

(4)

(в данном случае роль играет ).

Рис. 6

Из рис.6 видно, что разность хода от соседних щелей равна . Следовательно, разность фаз

, (5)

где – длина волны в данной среде.

Подставив в формулу (4) выражение (3) для и (5) для , получим (6)

( – интенсивность, создаваемая одной щелью против центра линзы).

Первый множитель в (6) обращается в нуль в точках, для которых

. (7)

В этих точках интенсивность, создаваемая каждой из щелей в отдельности, равна нулю (см. условие (2)).

Второй множитель в (6) принимает значение в точках, удовлетворяющих условию

, . (8)

Для направлений, определяемых этим условием, колебания от отдельных щелей взаимно усиливают друг друга, вследствие чего амплитуда колебаний в соответствующей точке экрана равна

(9)

( – амплитуда колебания, посылаемого одной щелью под уг­лом ).

Условие (8) определяет положения максимумов интенсив­ности, называемых главными. Число дает порядок главного максимума. Максимум нулевого порядка только один, максимумов 1-го, 2-го и т. д. порядков имеется по два.

Возведя равенство (9) в квадрат, получим, что интенсив­ность главных максимумов в раз больше интенсивности , создаваемой в направлении одной щелью: .

Кроме минимумов, определяемых условием (7), в проме­жутках между соседними главными максимумами имеется добавочных минимумов. Эти минимумы возникают в тех направле­ниях, для которых колебания от отдельных щелей взаимно пога­шают друг друга. Направления добавочных минимумов определяются условием

, (10)

.

Рис. 7

В формуле (10) принимает все целочисленные значения, кро­ме , т. е. кроме тех, при которых условие (10) пере­ходит в (8).

Условие (10) легко получить методом графического сложе­ния колебаний. Колебания от отдельных щелей изображаются векторами одинаковой длины. Согласно (10) каждый из после­дующих векторов повернут относительно предыдущего на один и тот же угол

.

Поэтому в тех случаях, когда не является целым кратным , мы, пристраивая начало следующего вектора к концу предыдущего, получим замкнутую ломаную линию, которая делает (при ) или (при ) оборотов прежде, чем конец -го вектора упрется в начало 1-го. Соответственно результирующая амплитуда оказывается равной нулю. Сказанное пояснено на рис. 7, на котором показана сумма векторов для случая и значений , равных и .

Между дополнительными минимумами располагаются слабые вторичные максимумы. Число таких максимумов, приходящееся на промежуток между соседними главными максимумами, равно . Ранее было показано, что интенсивность вторичных макси­мумов не превышает интенсивности ближайшего главного максимума.

На рис. 8 приведен график функции (6) для и . Пунктирная кривая, проходящая через вершины глав­ных максимумов, изображает интенсивность от одной щели, умноженную на . При взятом на рисунке отношении пе­риода решетки к ширине щели главные максимумы 3-го, 6-го и т. д. порядков приходятся на минимумы интенсивности от одной щели, вследствие чего эти максимумы пропадают. Вообще из формул (7) и (8) вытекает, что главный максимум -го порядка придется на -й минимум от одной щели, если будет выпол­нено равенство: , или . Это возможно, если равно отношению двух целых чисел и (практический интерес представляет случай, когда эти числа невелики). Тогда главный

Рис. 8

максимум -го порядка наложится на -й минимум от одной щели, максимум -го порядка - на -й минимум и т. д., в результате чего максимумы порядков и т. д. будут отсутствовать.

Количество наблюдающихся главных максимумов определяется отношением периода решетки к длине волны . Модуль не может превысить единицу. Поэтому из формулы (8) вытекает что .

Определим угловую ширину центрального (нулевого) максимума. Положение ближайших к нему дополнительных минимумов определяется условием (см. формулу (10)), этим минимумам соответствуют
= , где , .

Рис. 9

Положение дополнительных минимумов, ближайших к главно­му максимуму -го порядка, определяется условием: . Отсюда получается для угловой ширины -го мак­симума следующее выражение:

.

Обозначив и , имеем

.

При большом числе щелей значение будет очень мало, потому , и

.

При

Рис. 10

Произведение дает длину дифракционной решетки. Следо­вательно, угловая ширина главных максимумов обратно пропор­циональна длине решетки. С увеличением порядка максимума ширина возрастает.

В дифракционном спектре положение главных максимумов зависит от длины волны . Поэтому при пропускании через решетку белого света все макси­мумы, кроме центрального, разлагаются в спектр, фиолетовая область (конец) которого обращена к центру дифракционной картины, красная - наружу. Таким образом, дифракционная решетка представляет собой спектральный прибор. Стеклянная призма сильнее всего отклоняет фиолетовые лучи, дифракционная решетка, напротив, сильнее отклоняет красные лучи.

Основными характеристиками всякого спектрального прибора являются его дисперсия и разрешающая сила. Дисперсия определяет угловое или линейное расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на единицу (например, на ). Разрешающая сила определяет ми­нимальную разность длин волн , при которой две линии воспри­нимаются в спектре раздельно.

Угловой дисперсией называется величина

,

где – угловое расстояние между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на .

Чтобы найти угловую дисперсию дифракционной решетки, про­дифференцируем условие (8) главного максимума слева по , а справа по . Опуская знак минус, получим

.

Отсюда

.

В пределах небольших углов , поэтому можно положить

(11)

– угловая дисперсия обрат­но пропорциональна периоду решетки . Чем выше порядок спект­ра , тем больше дисперсия.

Линейной дисперсией называют величину , где – линейное расстояние на экране или на фотопластинке меж­ду спектральными линиями, отличающимися по длине волны на . Из рис. 9 видно, что при небольших значениях угла можно по­ложить , где – фокусное расстояние линзы, собирающей дифрагирующие лучи на экране. Следовательно, линейная диспер­сия связана с угловой дисперсией соотношением

.

Приняв во внимание выражение (11), получим для линейной дисперсии дифракционной решетки (при небольших ) следующую формулу:

.

Разрешающей силой спектрального прибора называ­ют безразмерную величину

,

где – минимальная разность длин волн двух спектральных ли­ний, при которой эти линии воспринимаются раздельно.

Возможность разрешения (т. е. раздельного восприятия) двух близких спектральных линий зависит не только от расстояний между ними (которое определяется дисперсией прибора), но также и от ширины спектрального максимума. На рис. 10 показана результирующая интенсивность (сплошные кривые), наблюдающаяся при наложении двух близких максимумов (пунктирные кривые). В случае а) оба максимума воспринимаются как один. В случае б) между максимумами лежит минимум. Два близких максимума вос­принимаются глазом раздельно в том случае, если интенсивность в промежутке между ними составляет не более 80% от интенсивности максимума. Согласно критерию, предложенному Рэлеем, такое соотношение интенсивностей имеет место в том случае, если сере­дина одного максимума совпадает с краем другого (рис. 10. б). Такое взаимное расположение максимумов получается при определенном (для данного прибора) значении .

Найдем разрешающую силу дифракционной решетки. Положе­ние середины -го максимума для длины волны определяется условием

.

Края -го максимума для длины волны расположены под углами, удовлетворяющими соотношению

.

Середина максимума для длины волны совпадет с краем максимума для длины волны в том случае, если . Отсюда

.

Решив это соотношение относительно , получим выражение для разрешающей силы .

Таким образом, разрешающая сила дифракционной решетки про­порциональна порядку спектра и числу щелей .

2. ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ

Прибор гониометр Г-5 смонтирован на массивном металлическом основании. Его оптическая система (см. рис.11) состоит из коллиматора 1, обеспечивающе­го получение параллельного пучка света, зрительной трубы 2, и отсчетного микрометра 3 и ряда других узлов, смонтированных внут­ри корпуса прибора.

Установка включает в себя также источник света – осветитель 4. На предметном столике 5, который может вращаться вокруг вертикальной оси, в специальном крепежном узле установлена диф­ракционная решетка с периодом м. Решетка установлена перпендикулярно светово­му потоку, выходящему из коллиматора. Фиксация установки дифра­кционной решетки производится с помощью винтов 6 и 7, эта опера­ция выполняется лаборантом при подготовке прибора к работе. Непосредственно под предметным столиком расположен крупногабаритный узел 8, называемый алидадой. Внутри ее корпуса нахо­дится отсчетный лимб (круглая шкала). Показания прибора снимают­ся с помощью отсчетного микрометра 3.

Электрическая цепь прибора предполагает питание части узлов непосредственно от электрической сети, а части узлов – через понижающий трансформатор. Трансформатор имеет регулятор напря­жения, позволяющий регулировать накал лампы осветителя. Жела­тельно накал лампы устанавливать не предельный, а несколько ни­же, чтобы не допускать перегрева корпуса. Питание измерительной оптической линии включается с помощью тумблера 10 на левой сто­роне корпуса прибора (внизу), а питание осветительного блока 4 с помощью тумблера 11 на корпусе трансформатора.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: