Предельные производительность, спрос, предложения

Экономический смысл выпуклости функции

Закон убывающей доходности: с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает.

Лекция 3. Исследование функций в экономике.

Предельные производительность, спрос, предложения

На основании экономического смысла производной и аппарата дифференциального исчисления возникает множество экономических задач, связанных с исследованием функций. В частности, представляют интерес экономические понятия и задачи на предельную производительность ресурса, предельный спрос продукции от цены и т.д.

Приведем определение и примеры таких задач.

Пример 10. Предприятие производит единиц некоторой однородной продукции в месяц. Исследовать финансовые накопления, если зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой

.

1.
Из экономического смысла независимой переменной следует, что она неотрицательна. Итак,

.

2.
. при и . На промежутке производная положительна, на - отрицательна. В точке функция достигает максимума:

.

Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при они достигают максимума, равного 39000 ден.ед., дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

Пример 11. Цементный завод производит тонн цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т цемента. Производительные мощности завода таковы. Что выпуск цемента не может превышать 90 т в день. Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:

.

Удельные затраты это средние затраты на единицу продукции, в данном случае на 1 т цемента. При объеме производства в т удельные затраты составят:

.

Задача сводится к отысканию наибольшего, наименьшего значения функции

на промежутке .

Ответ:
Пример 12. Требуется оградить забором прямоугольный участок земли площадью 294 кв. м. и затем разделить его на две равные части перегородкой. Каковы должны быть размеры участка, чтобы на постройку забора и перегородки было истрачено наименьшее количество материала?

Указание. Обозначим ширину прямоугольного участка через х, а длину через у.

Из условий задачи следует, что х ).¥ (0, Î

Поскольку площадь участка равна 294 кв. м., то

х × у=S=294.

Откуда получаем, что

у=294/х,

а общая длина ^ Р всего загона равна:

Р(х)=3х 2у=3х 2 ´ 294/х

Таким образом, общая длина ограды представляет собой функцию от одной переменной х).¥, и наша задача свелась к нахождению наименьшего значения этой функции в интервале (0,

Ответ: .
Изменение предельной производительности ресурса
Напомним основные определения и понятия.

Пусть в производстве продукции используется несколько видов сырья. Однако затраты всех ресурсов строго регламентированы технологией производства. Только один ресурс (например, затраты труда) может изменяться, оказывая влияние на объем производства. Зависимость выпуска продукции от затрат этого специфического ресурса описывается формулой

.

Скорость изменения этой функции выражается ее производной и называется предельной производительностью ресурса. Если речь идет о затратах труда, то - предельная производительность труда. Значение меняется в зависимости от , т.е. речь идет о новой функции аргумента , а именно о

.

Естественно, возникает вопрос: какова скорость изменения ? Скорость изменения любой функции описывается ее производной. Если функция дифференцируема, то существует

.

Скорость изменения предельной производительности ресурса называется темпом изменения выпуска при изменении затрат этого ресурса.
Аналогично определяется темп изменения спроса от цены d"(p), где d – спрос на продукцию, р – цена продукции.

Пример 13. Если формула

выражает зависимость спроса на товар от цены на него, то

- скорость изменения спроса, или предельный спрос.

Спрос является убывающей функцией цены, т.к. при любом значении . Темп изменения спроса

.

Другими словами, спрос убывает с нарастающей скоростью. Чем больше цена, тем быстрее уменьшается спрос на товар. Если , то .

Определение. Монотонная функция возрастает (убывает) на все быстрее, если скорость ее изменения является возрастающей функцией. Если же скорость изменения функции убывает на , то говорят, что функция возрастает (убывает) на все медленнее.

Очевидна, справедлива следующая

Теорема. Для того, чтобы функция , имеющая на промежутке первую и вторую производные, возрастала (убывала) на нем все быстрее, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия для всех .

Пример 14. Предположим, что на предприятии издержки производства вычисляются по формуле

.

Предельные издержки

положительны при любом объеме производства . Это следует из того, что дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, а старший коэффициент 1 положителен. Такой трехчлен может принимать только положительные значения.

Вычислим . Легко установить, что , если , и при . Следовательно, если выпуск продукции не превышает 5усл.ед., то издержки производства возрастают все медленнее. Если же , то издержки растут все быстрее.
Принцип акселератора
Предположим, что технология процесса производства не меняется, а основные производственные фонды используются полностью.

Введем следующие обозначения:

- размеры основных производственных фондов в момент времени ,

- объем производства предметов потребления с помощью основных производственных фондов .

Предположим, что масса основных фондов пропорциональна объему производства:

,

где - постоянный коэффициент пропорциональности ( ). Следовательно,

.

Это означает, что прирост основных производственных фондов в единицу времени пропорционален приросту выпуска предметов потребления в единицу времени.

Прирост основных фондов в единицу времени есть результат капиталовложений . Можно, следовательно, записать, что в момент времени

,

т.е. капиталовложения пропорциональны приросту объема производства.

Пример 15. Объем производства предметов потребления в период времени возрастает все быстрее, а с момента до возрастает все медленнее. Дать характеристику зависимости капиталовложений от спроса на предметы потребления.

Кривая производства предметов потребления имеет вид, показанный на рисунке 6.

Для , а для . Это означает, что функция возрастает в промежутке и убывает для .

Из (3) и условия следует, что имеет такой же характер изменения, что и . Поэтому функцию можно изобразить кривой, приведенной на рисунке 7.

Поведение графиков функций позволяет сделать следующие выводы.

1. Если спрос на предметы потребления (или, что то же самое, на производство) возрастает в каком-либо периоде все быстрее (промежуток ), то возрастают и капиталовложения. Следовательно, растет спрос на предметы производства, необходимые для увеличения выпуска предметов потребления.

2. Если спрос на предметы потребления (или их производство) с какого-то момента начинает расти все медленнее (промежуток ), это вызовет уменьшение размеров капиталовложений, т.е. падение спроса на средства производства.

3. Удержание капиталовложений на уровне, достигнутом в момент времени , возможно лишь в случае, если спрос на предметы потребления возрастает постоянным темпом, достигнутым в момент времени .

Приведенное положение называют принципом ускоренияили принципом акселератора.

Пример 16. Зависимость спроса от цены описывается функцией

.

Исследовать функции спроса и выручки от цены, построить их графики.

Спрос убывает с возрастанием цены, так как

.

Темп изменения функции отрицателен, если , и положителен, когда цена больше . График изображен на рис.8.

Выручка от реализации товара по цене составляет:

ден.ед.

Производная этой функции

положительна, если , и отрицательна для . Это означает, что с ростом цены выручка вначале увеличивается (несмотря на падение спроса) и при достигает максимального значения, равного

.

Дальнейшее увеличение цены не имеет смысла, так как оно ведет к сокращению выручки.

Темп изменения выручки

положительный, если , и отрицательный, пока .

На промежутке функция возрастает все медленнее. Соответствующая часть графика выпукла. Как уже отмечалось, дальнейшее повышение цены невыгодно.

Для выручка убывает все быстрее т приближается к нулю при

неограниченном увеличении цены. На промежутке функция вогнута. В точке график перегибается (см. рис. 9).

Задания для самостоятельной работы
1. Объем выпущенной заводом продукции и выручка , полученная от ее реализации, связаны следующей зависимостью:

.

Найдите предельную выручку и постройте ее график. Пользуясь этим графиком, определите, при каком объеме производства выручка максимальна (минимальна). Чему равна при этом предельная выручка? Что это означает?

Замечание. Предельная выручка определяется аналогично предельным издержкам производства (это скорость изменения выручки при данном объеме продаж).

2. Предприятие производит единиц продукции в месяц и реализует ее по цене

.

Суммарные издержки производства составляют:

.

Определите, при каком объеме производства прибыль предприятия будет максимальной.

3. Из треугольных обрезков фанеры необходимо сделать заготовки, имеющие форму параллелограмма. Как добиться того, чтобы заготовки имели максимально возможную площадь?

4. Имеется запас меда стоимостью в рублей. Известно, что с течением времени стоимость меда повышается по закону , а затраты на хранение настолько меньше , что ими можно пренебречь. С другой стороны, если мед продать, а деньги положить в банк, то на вырученную сумму непрерывно будут начисляться 10% годовых. То есть сумма , положенная в банк в момент времени , через лет станет равной
%= ).

Определите момент времени , в который наиболее выгодно продать имеющийся запас меда и положить деньги в банк, чтобы через лет сумма, накапливаемая на счете, была максимальной.

5. Зависимость полных издержек производства от объема производства выражается с помощью формулы:

.

Рассчитайте, при каком объеме производства средние издержки минимальны ( ).

6. Цена бриллианта пропорциональна квадрату его массы. Если бриллиант разбить на две части. То в каком случае общая стоимость двух частей будет наименьшей?

7. Предположим, что функция затрат имеет вид:

.

Определите предельные издержки производства при объеме выпуска . При каких значениях данная функция возрастает (убывает) все быстрее)?

8. Установлено, что предложение данного товара описывается формулой , где - цена. Установите вид зависимости предельного предложения (скорости изменения предложения) и темпа изменения предложения от цены на товар. Как изменение этих параметров характеризует динамику предложения?

9. Функция спроса на товар имеет вид:

.

Определите уровни цен, соответствующих максимальному спросу на товар, исчезновению спроса на него. При какой цене предельный спрос (скорость изменения спроса) будет равен нулю, двум, десяти? Чему равен темп изменения спроса? Что это означает? Приведите примеры ситуаций, которые могут быть описаны с помощью функций указанного вида.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: