Контур с активным сопротивлением

Колебания и волны

Колебательным движением или колебанием называются движения или процессы, которые характеризуются повторяемостью во времени тех или иных значений физических величин.

Колебательные процессы широко распространены в природе и технике и представляют собой сложные процессы. Физическая природа может быть разной, поэтому различаются: механические, электромагнитные и т.д., но различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и однотипными уравнениями.

МЕХАНИЧЕСКИЕ	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
Масса m	Индуктивность L
Жесткость k	Величина, обратная электроемкости 1/C
Смещение (координата) x	Заряд конденсатора q(t)
Скорость v = dx/dt	Ток в цепи I = dq/dt
Ускорение a = d²x/dt²	Скорость изменения тока d²q/dt²
Импульс Р = mv	Магнитный поток Ф = LI
Сила (упругая F = kx) F	Напряжение U = q/C
Частота свободных колебаний
Период	-формула Томпсона
Кинетическая энергия	Магнитная энергия катушки
Потенциальная энергия деформации (пружина)	Энергия электрического поля (конденсатора)
Дифференциальные уравнения гармонических колебаний


решением этих уравнений являются выражения:
х = А sin (ω₀t + φ₀)	q = q₀ sin (ω₀t + φ₀)
Уравнения затухающих колебаний:

решением этих уравнений являются выражения:
x(t) = x₀e^-βtcos (ωt + φ₀)	q(t) = q₀e^-βtcos (ωt + φ₀)
Коэффициент затухания β = r/2m	β = R/2L
Коэффициент сопротивления r	R
Уравнения вынужденных колебаний:

х = А sin (ωt - φ₀)	q = q₀ сos (ωt - φ₀)
Добротность пружинного маятника	Добротность колебательного контура

Для возбуждения и поддерживания электромагнитных колебаний используется колебательный контур – это цепь, состоящая из последовательно соединенных: катушки, конденсатора и сопротивления.

При свободных колебаниях происходит периодическое превращение электрической энергии W_э, запасенной в конденсаторе, в магнитную энергию W_м катушки и наоборот. Если в колебательном контуре нет потерь энергии, то полная электромагнитная энергия системы остается неизменной:

Все реальные контуры содержат электрическое сопротивление R. Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в джоулево тепло, и колебания становятся затухающими (рис.1).

Рисунок 1. Затухающие колебания в контуре.

Таким образом, затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.

Затухание механических колебаний вызывается трением; в электрических колебательных системах – тепловыми потерями на активном сопротивлении R, а также потерями в диэлектриках и ферромагнетиках, вследствие гистерезиса.

Отношение амплитуд двух последующих затуханий называется декрементом затухания, а логарифм – логарифмическим декрементом затухания:

N_e – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.

Затухающие колебания в электрическом контуре аналогичны затухающим колебаниям груза на пружине при наличии вязкого трения, когда сила трения изменяется прямо пропорционально скорости тела: F_тр = – rυ. Коэффициент r в этой формуле аналогичен сопротивлению R в электрическом контуре. сопротивления R контура. Интервал времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раза, называется временем затухания.

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или э.д.с., называются вынужденными колебаниями.

Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях, являются незатухающими. Периодический внешний источник обеспечивает приток энергии к системе и не дает колебаниям затухать, несмотря на наличие неизбежных потерь.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающих колебаний w₀ к частоте, равной или близкой к собственной частоте колебательной системы, называется резонансом. Резонансная частота равна

Где b = R/2L. При b² << w₀² значение w_рез практически совпадает с собственной частотой колебательной системы.

Добротность характеризует резонансные свойства колебательной системы, чем больше Q, тем больше А_рез. (Чем меньше затухание, тем больше добротность Q).

Добротности Q любой колебательной системы, способной совершать свободные колебания, может быть дано энергетическое определение:

Добротность электрических контуров, применяемых в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.

Переменный ток

Электрический ток, величина и направление которого изменяется во времени называется переменным.

В сеть с переменным напряжением, изменяющимся по закону , включают следующие элементы: активное сопротивление R, катушку индуктивности L, электроемкость C. Рассматриваемый контур может содержать как один элемент, так и группу элементов. В последнем случае опишем случаи последовательного и параллельного соединения элементов.

В этой теме строчными буквами обозначены мгновенные значения напряжения u, тока i, мощности p; прописными буквами с нижним индексом m – амплитудные значение соответствующих величин (U_m, I_m, P_m); прописными буквами без индекса – эффективные значения напряжения и тока , а также среднюю мощность переменного тока P.

Для мгновенных значений выполняются законы постоянного тока – закон Ома, правила Кирхгофа и закон Джоуля-Ленца. Требуется найти связь между амплитудными значениями тока и напряжения в рассматриваемом контуре, а также сдвиг фаз между током и напряжением.

Контур с активным сопротивлением

Применим II правило Кирхгофа: , откуда мгновенное значение силы тока , или . Следовательно,

, .

Условие означает, что ток и напряжение в одни и те же моменты времени принимают максимальные значения, в одни и те же моменты времени равны нулю. Зависимость тока и напряжения на активном сопротивлении изображены на графике.

Контур с электроемкостью

Применим II правило Кирхгофа: Из определения электроемкости следует, что Учитывая определение силы тока получим зависимость мгновенного значения силы тока от времени:

, или . Следовательно,

, .

Формулу можно записать в виде

который можно интерпретировать как закон Ома для участка цепи с электроемкостью. Здесь представляет емкостное сопротивление.

Условие означает, что синусоиды, изображающие зависимости силы тока и напряжения от времени, сдвинуты относительно друг друга на четверть периода, то есть ток по фазе опережает напряжение на .

Зависимость тока и напряжения на конденсаторе изображены на графике.

Контур с индуктивностью

При протекании по катушке переменного тока в ней возникает ЭДС самоиндукции Применим II правило Кирхгофа: , или . Из этого выражения следует, что

Интегрируя это уравнение, получим зависимость мгновенного значения силы тока от времени:

, или . Следовательно,

, .

Формулу можно записать в виде

который можно интерпретировать как закон Ома для участка цепи с индуктивностью. Здесь представляет индуктивное сопротивление.

Условие означает, что синусоиды, изображающие зависимости силы тока и напряжения от времени, сдвинуты относительно друг друга на четверть периода, то есть напряжение по фазе опережает ток на .

Зависимость тока и напряжения на индуктивности изображены на графике.

Емкостное и индуктивные сопротивления называют реактивными, сопротивление R - активным сопротивлением.

Реактивное сопротивление измеряют в тех же единицах, что и активное. Но между ними существует и принципиальное различие, а именно: только активное сопротивление определяет необратимые процессы в цепи, такие например, как преобразование электромагнитной энергии в джоулеву теплоту.

Последовательное соединение R, L, C в цепи переменного тока. Закон Ома

При последовательном соединении токи, протекающие по всем элементам цепи, одинаковы, а мгновенные значения напряжений складываются, то есть

Таким образом, в результате сложения трех колебаний получается четвертое.

Для сложения колебаний применим метод векторных диаграмм. Вы разим амплитудные значения напряжений на участках цепи через амплитудные значения силы тока:

, , . (1)

Выделим направление и обозначим его как ось токов. Поскольку сдвиг фаз между током и напряжением на активном сопротивлении равен нулю, вектор напряжения длиной, равной амплитуде , направим по оси токов. Учитывая, что на индуктивном сопротивлении напряжение опережает ток на , вектор направим перпендикулярно оси токов вверх (будем считать положительными углы поворота против часовой стрелки). Тогда вектор, изображающий напряжение на емкости , которое отстает от тока на , будет ориентирован противоположно вектору . Результатом сложения этих трех векторов будет вектор длиной .

Вначале сложим противоположно направленные векторы и . Затем применим теорему Пифагора, согласно которой

Подставим в эту формулу выражения (1)

откуда выразим амплитуду силы тока

Эту формулу можно записать в виде

она представляет закон Ома для участка цепи, содержащего последовательно соединенные активное, емкостное и индуктивное сопротивления. Величину

называют полным сопротивлением цепи переменного тока или импедансом.

С помощью векторной диаграммы найдем сдвиг фаз между током и напряжением:

В практике широко применяют так называемый коэффициент мощности, равный . Из векторной диаграммы видно, что . Применяя закон Ома, получаем, что , или

В рассматриваемой цепи ток будет максимальным, если , то есть напряжения на индуктивном и емкостном сопротивлениях совпадают по величине: . Это явление называется резонансом напряжений.

При резонансе полное сопротивление цепи минимально и равно активному сопротивлению: Z = R, сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю.

Параллельное соединение R, L, C в цепи переменного тока

При параллельном соединении напряжения на всех элементах цепи, одинаковы и равны внешнему напряжению, а мгновенные значения токов складываются, то есть

Таким образом, в результате сложения трех колебаний получается четвертое.

Также, как и раньше, для сложения колебаний применим метод векторных диаграмм. По закону Ома для участков цепи имеем

, , . (1)

Выделим направление и обозначим его как ось напряжений. Поскольку сдвиг фаз между током и напряжением на активном сопротивлении равен нулю, вектор тока длиной, равной амплитуде , направим по оси напряжений. Учитывая, что на индуктивном сопротивлении напряжение опережает ток на , вектор направим перпендикулярно оси токов вниз. Тогда вектор, изображающий ток на электроемкости , который опережает напряжение на , будет ориентирован противоположно вектору . Результатом сложения этих трех векторов будет вектор длиной .

Вначале сложим противоположно направленные векторы и . Затем применим теорему Пифагора, согласно которой

Подставим в эту формулу выражения (1)

откуда выразим амплитуду напряжения

Эту формулу можно записать в виде

она представляет закон Ома для участка цепи, содержащего параллельно соединенные активное, емкостное и индуктивное сопротивления. Величину

называют полным сопротивлением цепи переменного тока или импедансом.

Из векторной диаграммы видно, что при выполнении условия , или, что то же самое, полное сопротивление цепи минимально и равно активному сопротивлению: Z = R. Токи на индуктивном и емкостном сопротивлениях совпадают по величине: , сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю. Это явление называется резонансом токов

Комбинированное соединение R, L, C в цепи переменного тока

Фактически “чистых” индуктивностей в природе не существует, любая катушка индуктивности обладает омическим (активным) сопротивлением. Поэтому катушку можно рассматривать как последовательно соединенные индуктивность и активное сопротивление. Рассмотренный выше случай предполагает малость активного сопротивления катушки по сравнению с ее индуктивным сопротивлением.

Рассмотрим параллельное соединение катушки и конденсатора. При параллельном соединении напряжения на всех элементах цепи, одинаковы и равны внешнему напряжению, а мгновенные значения токов складываются, то есть

Связь между амплитудными значениями тока и напряжения на катушке выражается законом Ома

а сдвиг фаз между током и напряжением соотношением

причем напряжение опережает ток.

Построим векторную диаграмму для параллельного соединения катушки и конденсатора. Как и раньше, выберем ось напряжений и построим векторы токов и . Сложим эти векторы по правилу параллелограмма. Силу тока в подводящих проводах найдем по теореме косинусов

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: