Операции с комплексными числами при расчёте цепей синусоидального тока
Лекция № 9.
КОМПЛЕКСНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ. ЗАКОН ОМА ДЛЯ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Рассмотрим схему (рис. 2-22), в которой резистор с сопротивлением R, катушка индуктивности с индуктивностью L и конденсатор ёмкостью С соединены последовательно. Схема питается от источника синусоидальной ЭДС.
Рис. 2-22. Электрическая схема.
|
Запишем для данной схемы уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений:
(2-52)
Пользуясь выше приведённой таблицей перехода от мгновенных значений к комплексным изображениям, получим:
(2-53)
где
Направим вектор тока по вещественной оси комплексной плоскости и изобразим векторы напряжений на резисторе , на катушке индуктивности , на конденсаторе на комплексной плоскости (рис. 2-23):
Рис. 2-23. Векторная диаграмма цепи R,L,C.
|
Получилась векторная диаграмма для рассматриваемой электрической схемы. Вектор напряжения на резисторе совпадает по фазе с вектором тока , так как отсутствуют множители j или –j. Вектор Напряжения на катушке индуктивности из-за наличия множителя j повёрнут относительно вектора тока против часовой стрелки на 90°, то есть в направлении положительного отсчёта углов. Вектор напряжения на конденсаторе из-за наличия множителя –j повёрнут относительно вектора тока по часовой стрелке на 90°, то есть в направлении отрицательно отсчёта углов. На этой векторной диаграмме › , поэтому в результате вектор тока отстаёт на угол от вектора ЭДС . В данном случае цепь имеет индуктивный характер.
В выражении (2-53) вынесем ток за скобку:
(2-54)
Множитель представляет собой комплекс, имеет размерность сопротивления и обозначается . Его называют комплексным сопротивлением:
(2-55)
Здесь R -активное сопротивление цепи, -реактивное сопротивление цепи, равное разности реактивного сопротивления катушки индуктивности и реактивного сопротивления конденсатора .
Уравнение (2-54) можно записать:
(2-56)
или
(2-57)
Уравнение (2-57) представляет собой закон Ома для цепи синусоидального тока.
Рис. 2-24. Векторная диаграмма цепи R,L,C
|
ТРЕУГОЛЬНИК СОПРОТИВЛЕНИЙ
Векторную диаграмму рис. 2-23 изобразим несколько иначе, введя туда реактивное сопротивление цепи X (рис. 2-24). На диаграмме получился треугольник , и , причем везде входит комплекс тока . Поделив на , получим треугольник сопротивлений R, X, Z.
Изобразим отдельно треугольник сопротивлений:
Рис. 2-25. Треугольник сопротивлений
|
Для рис. 2-25 можно записать:
(2-58)
(2-59)
(2-60)
(2-61)
(2-62)
КОМПЛЕКСНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ
Под комплексной проводимостью понимают величину, обратную комплексному сопротивлению :
(2-63)
Действительную часть комплексной проводимости обозначают g, мнимую-b. Модуль комплексной проводимости обозначают y. Так как , то
, (2-64)
При использовании комплексной проводимости закон Ома записывается так:
(2-65)
Изобразим векторную диаграмму для схемы рис. 2-22 с использованием комплексной проводимости (рис. 2-26):
Рис. 2-26. Векторная диаграмма.
Получился прямоугольный треугольник, где и - катеты, а - гипотенуза.
ТРЕУГОЛЬНИК ПРОВОДИМОСТЕЙ
Поделив все три стороны треугольника на , получим треугольник проводимостей g, b, y (рис. 2-27).
Изобразим отдельно треугольник проводимостей:
Рис. 2-27. Треугольник проводимостей.
Для рис. 2-27 можно записать:
; (2-66)
(2-67)
(2-68)
; (2-69)
(2-70)
Объединим векторные диаграммы рис. 2-24 и рис. 2-26 (рис. 2-28);
Рис. 2-28. Векторная диаграмма.
Операции с комплексными числами при расчёте цепей синусоидального тока
Любое комплексное число может быть записано в трёх формах: алгебраической, показательной и тригонометрической. Например:
(2-71)
-алгебраическая форма записи комплексного числа;
-показательная форма записи комплексного числа;
-тригонометрическая форма записи комплексного числа.
На калькуляторе сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел производится в алгебраической форме.
Ответ желательно иметь в двух формах: алгебраической и показательной. Комплексные сопротивления достаточно иметь в алгебраической форме для проведения расчётов. А вот комплексы токов ветвей, напряжений на отдельных участках схемы нужно обязательно перевести в показательную форму, так как переход от комплексных изображений к мгновенным значениям (синусоидам) производится от показательной формы.
Тригонометрическая форма записи является промежуточной и служит для перехода от показательной формы к алгебраической.
Покажем на примере расчёты с комплексными числами.
Прежде всего переключатель на калькуляторе DRG поставить в положение DEG, что означает измерение угла в показательной форме в градусах.
Другие два положения переключателя: RAD-радианы, GRAD-грады.
Далее нужно определиться с точностью расчёта: сколько знаков после запятой мы хотим иметь. Так, если требуется делать расчёты, с точностью три знака после запятой, то мы нажимаем следующие клавиши:
2ndf 3
Чтобы вернуться в обычный режим, надо нажать следующие клавиши:
2ndf
Произведём расчеты следующего комплексного выражения:
Так как калькулятор считает комплексы только в алгебраической форме, то прежде всего комплексное число надо из показательной формы перевести в алгебраическую.
Включаем калькулятор, устанавливаем углы в градусах, точность расчёта, например, три знака после запятой и далее нажимаем клавиши:
2ndf
Калькулятор перешёл в режим расчёта комплексных чисел. В правом верхнем углу возникает надпись CPLX.
Далее нажимаем:
2ndf a 5 a -120 b
2ndf a Калькулятор подготовлен к введению комплексного числа в показательной форме.
5 a -120 b вводится модуль комплекса 5 и угол -120º комплексного числа.
Далее нужно перевести введённое комплексное число в показательной форме в алгебраическую форму, чтобы калькулятор мог делать расчёты.
Для этого нажимаем дальше клавиши:
2ndf b Комплексное число переведено в алгебраическую форму.
Далее нажимаем:
x -6 a 8 b
Умножили предыдущий комплекс на комплексное число -6+j8.
Далее нажимаем:
: 3 a -4 b
Разделили предыдущий результат на комплексное число 3-j4.
Далее нажимаем:
= И получаем ответ в алгебраической форме 5+j8,66.
Чтобы перевести ответ в показательную форму, нажимаем клавиши:
2ndf а Получаем ответ в показательной форме .
Никаких промежуточных записей не делаем. Только ответы в алгебраической и показательной форме.
На некоторых калькуляторах вместо клавиши 2ndf стоит клавиша shift того же назначения.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|