Лекция № 9. ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

1. Магнитная индукция и напряженность магнитного поля.
2. Закон Био-Савара-Лапласа для элемента тока. Расчет магнитных полей.

3. Сила Ампера. Сила Лоренца.

4. Контур с током в магнитном поле. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле.

5. Намагниченность. Магнитное поле в веществе.

Магнитная индукция и напряженность магнитного поля.

Термин магнитное поле ввел в 1845 году английский физик М.Фарадей, считавший, что как электрическое, так и магнитное взаимодействия осуществляются посредством единого материального поля.
Источниками макроскопического магнитного поля являются намагниченные тела, проводники с током и движущиеся электрически заряженные тела. Природа этих источников едина: магнитное поле возникает в результате движения заряженных микрочастиц.

Магнитное поле – силовое поле, действующее на движущиеся электрические заряды и на тела, обладающие магнитным моментом. Магнитное поле характеризуется вектором магнитной индукции . Значение определяет силу, действующую в данной точке поля на движущийся электрический заряд и на тела, имеющие магнитный момент.

Вектор можно ввести одним из трех эквивалентных способов:
а) исходя из силового действия магнитного поля на движущуюся в нем заряженную частицу;

б) основываясь на силовом действии магнитного поля на малый элемент проводника с током;

в) исходя из силового действия магнитного поля на небольшую рамку с током.
Например, магнитная индукция– векторная величина, модуль которой определяется отношением максимальной силы , действующей со стороны магнит-ного поля на участок проводника с током, к силе этого тока и длине участка проводника , [B] = Тл
Для графического изображения стационарного магнитного поля пользуются методом линий индукции. Линиями магнитной индукции (силовыми линиями магнитного поля) называются линии, проведенные в магнитном поле так, что в каждой точке поля касательная к линии магнитной индукции совпадает с направлением вектора магнитной индукции в этой точке поля. Линии магнитной индукции нигде не обрываются, т. е. не начинаются и не кончаются. Они либо замкнуты, либо идут из бесконечности на бесконечность.
Магнитное поле называется однородным, если во всех его точках вектор магнитной индукции имеет одно и то же значение. В противном случае магнитное поле называется неоднородным.

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитное поле

, создаваемое несколькими источниками, равно векторной сумме полей

, порождаемых каждым источником в отдельности:

Отсутствие в природе магнитных зарядов приводит к тому, что линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца. Поэтому поток вектора через любую замкнутую поверхность S равен нулю. Следовательно, теорема Гаусса для вектора формулируется следующим образом:

[Ф_В] = Вб

Наряду с индукцией используется понятие напряжённости магнитного поля , как меры воздействия на проводники с током и магнитную стрелку (размерность её - А/м). Напряженность характеризует магнитное поле создаваемое макроскопическими токами и поэтому определяется их величинами, конфигурацией в пространстве и не зависит от свойств среды. Вектор индукции магнитного поля связан с напряженностью магнитного поля соотношением , где – магнитная постоянная, – магнитная проницаемость среды.

Закон Био – Савара - Лапласа для элемента тока. Расчет магнитных полей

На основании анализа опытных данных для магнитных полей постоянных токов бы установлензакон Био – Савара – Лапласавида:

где – радиус-вектор, проведенный из элемента проводника в рассматриваемую точку поля; j – угол между векторами и .
Направление вектора можно найти по правилу Максвелла (правилу буравчика): если ввинчивать буравчик с правой резьбой по направлению вектора плотности тока в элементе проводника, то направление движения рукоятки буравчика укажет направление вектора магнитной индукции.

1. Магнитное поле прямого тока. Н айдем с помощью закона Био-Савара-Лапласа магнитное поле прямолинейного проводника с током I (рисунок 6.1). Пусть r₀ – расстояние от точки, в которой определяется поле, до проводника с током. Тогда расстояние r от участка проводника dl можно выразить так: где j – угол между векторами и . Длина dl связана с углом j, под которым виден этот участок проводника из рассматриваемой точки:

Подставим эти значения в формулу

В соответствии с принципом суперпозиции магнитная индукция для участка проводника равна:
где j₁ и j₂ – углы между вектором плотности тока в проводнике и радиус-векторами, проведенными в рассматриваемую точку из начала и конца участка проводника. Если проводник бесконечно длинный, то j₁ = 0, j₂ = p и индукция магнитного поля, как следствие закона Био – Савара – Лапласа, в любой точке пространства вычисляется по простой формуле вида:

Линии магнитной индукции поля прямого тока представляют собой систему охватывающих провод концентрических окружностей.

2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током.

Как следует из рисунка 6.2, все элементы кругового проводника с током создают в его центре магнитное поле одинакового направления – вдоль нормали от витка. Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиус-вектору (sinj=1) и расстояния всех элементов проводника до центра кругового тока одинаковы и равны R , то согласно

Тогда интеграл, взятый по контуру проводника,

Так как , то магнитная индукция в центре кругового проводника с током в вакууме равна

3. Магнитное поле на оси кругового витка с током.

И ндукция магнитного поля вдоль оси, проведенной через центр кругового тока перпендикулярно его плоскости, будет уменьшаться по мере удаления от кругового тока. Если на оси выбрать точку М (рис. 16.3), то результирую-щая индукция определяется как сумма проекций dB_x, выраженных формулой.

Откуда несложно получить, интегрируя

Сила Ампера. Сила Лоренца . Ампер (1820) на опыте установил, что на проводник с током в магнитном поле действует сила ,

модуль которой определяется по формуле:

а направление, по правилу правого винта или правилу «левой руки» (рис. 6.4).

Возникновение этой силы связано с тем, что магнитное поле действует на заряженные частицы, движущиеся в проводнике с некоторой скоростью . Сила, действующая на заряд в этом случае, называется силой Лоренца и определяется по формуле:

, а ее модуль , где – угол между направлениями скорости частицы и вектора магнитной индукции.

Магнитное поле не действует на покоящийся заряд и в этом состоит существенное отличие магнитного поля от электрического. Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости частицы (ее перемещению) и поэтому работы не совершает, а, следовательно, не изменяет кинетическую энергию частицы. Выражение для силы Лоренца позволяет определить характер движения заряженной частицы в магнитном поле. При частица движется по окружности радиуса . Если угол удовлетворяет условию , то частица движется по спирали с радиусом R и шагом h. Если скорость частицы составляет угол с вектором магнитной индукции неоднородного магнитного поля, индукция которого возрастает в направлении движения частицы, то уменьшаются. На этом основано явление фокусировки заряженных частиц в магнитном поле.

Контур с током в магнитном поле. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле.
Рассмотрим контур с током, находящийся в однородном магнитном поле. Вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости витка. Выделим элемент контура . На него в магнитном поле будет действовать сила, согласно (6.17), равная . Результирующая сила, действующая на контур, будет равна геометрической сумме сил, действующих на отдельные элементы контура, т.е.

Следовательно, в однородном магнитном поле результирующая сила, действующая на контур с током, будет равна нулю, и контур перемещаться не будет.
Для простоты рассуждений возьмем прямоугольный контур со сторонами «а» и «b» (рис. 6.5). В магнитном поле на него будет действовать вращающий момент пары сил и поэтому, контур будет вращаться. Вращающий момент пары сил , но , и, следовательно, . Так как – площадь контура, то . Введем вектор называемый вектором магнитного момента контура. Его направление совпадает с направлением положительной нормали к контуру, которая определяется с помощью правила правого винта. Тогда для вращающего момента, действующего на контур с током в магнитном поле, получим выражение:

Очевидно, что при , т.е. контур с током в магнитном поле ориентируется так, чтобы его вектор магнитного момента был параллелен вектору магнитной индукции. Рассмотрим контур, находящийся в неоднородном поле. Работа, совершаемая при повороте контура на угол , определяется по формуле . С учетом (6.20) получим:

Полная механическая работа
. Механическая потенциальная энергия контура с током в магнитном поле будет определяться этим же выражением.

Ранее мы показали, что связь между силой и энергией и, следовательно, на контур с током в неоднородном магнитном поле будет действовать сила .
При , контур втягивается в поле, при контур выталкивается из поля.В результате перемещения проводника с током или контура произвольной формы в магнитном поле совершается работа по преодолению сил поля. Не сложно получить формулу, определяющую эту работу.

Рассмотрим проводник длиной , с током I, способный свободно перемещаться в магнитном поле с индукцией , направленной перпендикулярно проводнику (рис. 6.6). В этом случае на проводник будет действовать сила Ампера и при перемещении проводника на расстояние , будет совершена работа , но , а элементарный магнитный поток и тогда элементарная работа . Интегрируя данное выражение, получим, что работа по перемещению проводника с током в магнитном поле будет определяться выражением

, где – магнитный поток, пересеченный проводником.

Намагниченность. Магнитное поле в веществе.

Если проводники с токами находятся не в вакууме, а в другой среде, то магнитное поле изменяется. Это объясняется тем, что всякое вещество является магнетиком, т.е. способно под действием магнитного поля приобретать магнитный момент (намагничиваться). Каждый электрон, движущийся в атоме вокруг ядра по замкнутой орбите радиуса R (рис. 6.7), представляет собой элементарный (электронный) ток , где частота обращения электрона . Следовательно, орбитальный магнитный момент

, где площадь орбиты электрона, единичный вектор нормали, задающий направление вектора

Кроме этого, электрон обладает орбитальным механическим моментом импульса и собственным магнитным моментом , связанным с собственным механическим моментом импульса (спином). Так что, состояние электрона можно характеризовать гиромагнитными отношениями вида

и . Вектором орбитального магнитного момента атома называется векторная сум-ма орбитальных магнитных моментов всех его электронов: , где порядковый номер атома в периодической системе элементов Менделеева, равный общему числу электронов в атоме. Если вещество состоит из молекул, то магнитный момент молекулы является векторной суммой орбитальных магнитных моментов её атомов. Результирующее магнитное поле в среде является суммой полей создаваемых проводниками с током в вакууме и намагничивающейся средой

Намагничивание магнетика характеризуется вектором намагничения или намагниченностью , равным магнитному моменту единицы объема вещества

где – объем, взятый в окрестности рассматриваемой точки; – магнитный момент отдельной молекулы, магнитный момент магнетика.
Ток, текущий по боковой поверхности цилиндра, из которого выполнен магнетик, подобен току в соленоиде и создаёт внутри него поле, магнитную индукцию которого, определяется , а учитывая, что можно выразить . Как следует из опытов, в несильных полях намагниченность прямо пропорциональна напряжённости поля, вызывающего намагничение, т.е. , где безразмерная величина, называемая магнитной восприимчивостью вещества.

Подставляя выражения , и последовательно в (6.25), получим

, где . Здесь магнитная проницаемость вещества (безразмерная величина).
Следует отметить, что закон полного тока для магнетика в определении циркуляции вектора по замкнутому контуру определяется более сложным образом ,

чем в определении циркуляции вектора по замкнутому контуру

Задание для самоконтроля (Результаты запишите в тетрадь).

1. Два параллельных проводника с токами по 100 А находятся в вакууме. Определить расстояние между проводниками, если в следствие их взаимодействия на отрезок проводника длиной 75 см действует сила 5*10^-2 Н.

2. В центре кругового тока с радиусом 5,8 см индукция магнитного поля равна 1,3*10^-4 Тл. Определить напряженность магнитного поля в центре и силу тока в проводнике.

3. Напряженность магнитного поля внутри катушки с током 1600 А/м. Сечение катушки 10 см². Внутри катушки помещен сердечник из стали с относительной магнитной проницаемостью 8000. Определить величину индукции поля и магнитный поток.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: