Лабораторная работа №1 «Расчет погрешности и определение точности измерений»

РЕКОМЕНДОВАНО

Методическим советом

Протокол заседания

от_­­­­­_______20__ №____

Зам. директора по УМНР

____________О.Б. Кузнецова

Аннотация

В соответствии с отведенными, учебным планом ППССЗ по специальности 090201 Компьютерные системы и комплексы, часами (10 часов) и рабочей программы учебной дисциплины ОП.06 «Метрология, стандартизация и сертификация» методическое пособие содержит пять лабораторных работ. Обучающиеся, в процессе выполнения и защиты лабораторных работ приобретают умения и знания в области метрологии, стандартизации и сертификации, а также осваивают общие и профессиональные компетенции в соответствии с требованиями ФГОС СПО.

Автор: Давыдова А.И.

Рецензенты:

^{(Фамилия И. О.)}

^{(подпись)}

Лабораторная работа №1 «Расчет погрешности и определение точности измерений»

1. В соответствии с рабочей программой учебной дисциплины ОП.06 «Метрология, стандартизация и сертификация» работа рассчитана на 2 часа.

2.Цель работы:

2.1 Ознакомится с сущностью, понятием погрешностей и порядком обработки результатов измерений.

2.2 Определить наиболее достоверное значение измеренных физических величин, с учетом обнаружения и исключения промахов из результата измерений.

2.3 Совершенствование навыков работы на ПК с использованием различных программных средств.

3. Теоретические сведения

3.1 Точность и погрешность измерений.

Точность измерения – это степень приближения результатов измерения к некоторому действительному значению физической величины. Чем меньше точность, тем выше погрешность и чем меньше погрешность, тем выше точность.

Измерение можно считать законченным, если найден не только результат измерения, но и проведена оценка его погрешности. Понятие “погрешность” содержит в себе понятия “погрешность результата измерения” и “погрешность средства измерения”.

Погрешностью результата измерения называют отклонение найденного значения от истинного значения измеряемой величины. Так как истинное значение измеряемой величины неизвестно, то при количественной оценки погрешности пользуются действительным значением физической величины.

Это значение находят экспериментально и настолько близко к истинному значению, что может быть использовано вместо него.

Абсолютной погрешностью Δ, выражаемой в единицах измеряемой величины, называют отклонение результата измерения Х от истинного значения. Δ = Х - Х_и

Относительной погрешностью δ, называют отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины:δ = Δ / Х_и

Относительную погрешность часто выражают в процентах: δ = Δ / Х_и 100%

Приведенной погрешностью γ, выражающей потенциальную точность измерений, называют отношение абсолютной погрешности Δ к некоторому нормирующему значению Х_N (например к конечному значению шкалы): γ = Δ / Х_N 100%

По характеру (закономерности) проявления погрешности делятся на: систематические, случайные и грубые (промахи).

Систематические погрешности Δ_с – составляющие погрешности измерений, сохраняющиеся постоянными или закономерно изменяющимися при многократных измерениях величины в одних и тех же условиях. Такие погрешности выявляют анализом их источников и уменьшают применением более точных приборов и калибровкой приборов с помощью рабочих мер и др.

Случайные погрешности Δ_сл – составляющие погрешности измерений, изменяющиеся случайным образом по значению и знаку при повторных измерениях одной и той же физической величины в одних и тех же условиях. Случайная погрешность уменьшается при увеличении количества измерений.

Грубые погрешности (промахи) – погрешности, существенно превышающие ожидаемые результаты при данных условиях измерения. Они возникают из-за ошибок оператора или неучтенных внешних воздействий. При однократном измерении грубую погрешность обнаружить нельзя. Её можно выявить только при многократных измерениях и исключают в процессе обработки измерений.

В метрологии при анализе погрешностей часто используют закон распределения погрешностей – нормальный закон распределения – закон Гаусса.

1 - Δ² /2σ²

Для нормального закона распределения: р (Δ) = е

σ √2 π , где

р (Δ) – плотность вероятности случайной погрешности Δ = Х - Х_и или Δ = Х – Х_д

σ – среднеквадратическое отклонение погрешности характеризует точность измерения, чем меньше σ, тем выше точность измерения.

При нормальном законе распределения случайной погрешности за истинную величину Х_и удобно применять среднее арифметическое значение (оно относится к дискретным случайным величинам, реально получаемых при n измерениях). Х_ср = Х₁+ Х₂ + Х₃ +····+ Хn/n, где n-число измерений. В отличие от относительной и приведенной погрешностей абсолютная погрешность всегда имеет ту же размерность, что и измеряемая величина. Если выполнить к серий измерений в каждой серии проводилось n отдельных измерений и вычислить среднеарифметическое значение для каждой серии, то полученные для каждой серии среднеарифметические значения Х_ср1 , Х_ср2 , Х_ср3 ,…, Х_срn будут несколько различаться между собой. Эти средние значения будут отличаться от истинного значения Х_и измеряемой величины на случайные величины и, следовательно, будут распределяться около Х_и по закону Гаусса. Для получения представления о случайном разбросе среднего арифметического относительно точного значения Х_и измеряемой величины нужно вычислить среднее квадратическое отклонение от среднего арифметического. В теории погрешностей доказывается, что это отклонение в √n раз меньше средней квадратической погрешности отдельного измерения, т.е.

σ(х_ср) =√ Σ Δ_i² / n (n - 1) ( Δ_i = Х_i – Х_и или Δ_i = Х_i – Х_д )

Для оценки рассеяния отдельных результатов измерения (Х_i) относительно среднего арифметического значения результата измерения (Х_ср) среднеквадратическое отклонение (σ), определяют:

σ = √ Σ Δ_i² / n , при n ≥ 20 ; σ = √ Σ Δ_i² n - 1, при n < 20 .

Закон Стьюдента описывает плотность распределения вероятности среднего арифметического (р(t_х)) и применяют при обработке небольшого числа результатов (n<20) и, он справедлив, когда плотность вероятности случайных погрешностей распределена по нормальному закону. t_x- принято называть коэффициентом Стьюдента. t_x = Δ_х/σ_ср = (х - х_и) / σ. При расчетах погрешностей задают некоторую доверительную вероятность ρ_д и число проводимых наблюдений n. Поэтому данный коэффициент обозначают через t(ρ_д, n).

Под доверительной вероятностью понимают вероятность появления погрешности, не выходящей за некоторые принятые границы. Этот интервал называют доверительным интервалом, а характеризующую его вероятность – доверительной вероятностью.

Для определения доверительного интервала среднюю квадратическую погрешность надо умножить на коэффициент Стьюдента. Окончательный результат можно записать так:

Х_изм = Х_ср + t_х σ_Хср

Значение коэффициента t_х приведены в таблице 3.1

Таблица 3.1 Результаты коэффициента Стьюдента для разного количества измерений

Грубые погрешности измерений могут сильно исказить Х_ср, σ и доверительный интервал, поэтому исключение грубых погрешностей обязательно. Существует ряд критериев для оценки промахов.

Критерий 3σ (трех сигм). В этом случае уровень значимости критерия ошибки q = 0,003, маловероятен и его относят к грубым погрешностям, т.е. сомнительный результат х_i отбрасывается, если |х_ср – х_i| > 3 σ. Величины Х_ср и σ вычисляют без учета экспериментальных значений Х_{i .} Данный критерий надежен при n ≥ 20.

При n < 20 применяют критерий Романовского, уровень значимостиβ = |Х_ср – Х_i|/ σ. Полученное значение сравнивают со значением, полученным теоретически (β_т) в зависимости от числа измерений (n) и выбираемой вероятности (Р) (см. табл. 3.2).

Таблица 3.2 Результаты вероятности для разного количества измерений

Обычно Р находится в пределах 0,01 – 0,05, и если β ≥ β_т , то результат отбрасывают.

При n < 10 используют критерий Шовине. В этом случае промахом считается результат Х_i , при котором разность |Х_ср – Х_i| в зависимости от числа измерений (n) превышает значения κ٠σ:

1,6 ٠σ при n = 3;

1,7 ٠σ при n = 6;

1,9 ٠σ при n = 8;

2 ٠σ при n = 10;

3.2 Правила округления результатов и погрешностей измерений.

Результат измерений выражается числом, содержащим значащие цифры, значащими считаются все цифры в числовом результате, в том числе и нуль, если он стоит в середине или в конце числа. Например, результат измерения напряжения (125 и 0,00125 В) содержит три значащих цифры, а (126,05 и 12 500 В) – пять значащих цифр.

Результат измерений, являясь приближенным значением, содержит некоторое количество верных знаков. Верными считаются те знаки, которые не вызывают сомнения в достоверности. Погрешность измерений позволяет определить те цифры, которые являются достоверными. Поэтому в результате измерений удерживать излишне большое число цифр, которые могут оказаться не достоверными нецелесообразно. Результат измерения, содержащий большое число цифр требуется округлять и соблюдать следующие правила округления.

1. В выражении погрешности удерживается не более двух значащих цифр, причем последняя цифра округляется до нуля или пяти.

Пример. Погрешность измерения тока составила 0,125 А., удерживая один знак, значение погрешности округляется до ± 0,1 А.

Погрешность измерения напряжения составила 0,152 В., удерживая два знака, значение погрешности округляется до ± 0,15 В.

2. Числовое значение результата измерения измерений должно оканчиваться цифрой или нулем того же десятичного знака, что и значение погрешности.

Пример. (125, 823 ± 0,15) В округляется до (125, 82 ± 0,15) В, где 125, 823 – результат измерения, а ± 0,15 В – погрешность измерения.

3. Если первая отбрасываемая цифра меньше пяти, то последняя удерживаемая цифра не изменяется. Пример. (125, 721 ± 0,2) В округляется до (125, 7 ± 0,2) В.

4. Если первая отбрасываемая цифра больше пяти или равна пяти, то последняя удерживаемая цифра увеличивается на единицу.

Пример. 25, 268 ± 0,4 округляется до 25,3 ± 0,4;

25, 253 ± 0,3 округляется до 25,3 ± 0,3 .

5. Если первая отбрасываемая цифра равна пяти и за ней не следует значащих цифр (или следуют только нули), то округление производится до ближайшего четного.

Пример. 26, 35 ± 0,3 округляется до 26,4 ± 0,3;

26, 45 ± 0,3 округляется до 26,4 ± 0,3;

26, 55 ± 0,3 округляется до 26,6 ± 0,3;

10, 550 ± 0,3 округляется до 10,6 ± 0,3;

10, 650 ± 0,3 округляется до 10,6 ± 0,3;

6. Округление результатов измерений производят лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления производят с одним – двумя лишними знаками.

3.3 Пример последовательности расчетов при обработке результатов многократных наблюдений.

Для определения наиболее достоверного значения измеряемого напряжения и уменьшения влияния случайных погрешностей выполнен в одинаковых условиях и одним и тем же прибором ряд повторных измерений (n = 10) напряжения (табл.3.3). Определить:

1. Действительное значение величины измеряемого напряжения;
2. Имеются ли в результатах измерений грубые ошибки (промахи).

3. Определить среднеквадратическое отклонение среднего арифметического, т.е. среднеквадратическую погрешность результата измерения σ_{рез ,} доверительный интервал и записать результат измерения, используя вышеизложенные правила округления результата измерения и погрешности измерения.

Таблица 3.3 Результат достоверного значения измеряемого напряжения

Решение.

1.Вычисляем среднее значение измеряемого напряжения, которое наиболее достоверно, принимаемое за действительное:

U_ср.=∑U_i / n, где i – номер единичного измерения

U_ср.149,52+150,48+152,13+151,36+150,25+150,64+149,87+150,75+153,32+153,32/10=151,04В

2.Находим абсолютную погрешность каждого измерения: ΔU_i = U_i – U_ср (алгебраически)

ΔU₁ = U₁ – U_ср = 149,52 - 151,04 = - 1,52 В

ΔU₂ = U₂ – U_ср = 150,48 - 151,04 = - 0,56 В

ΔU₂ = U₃ – U_ср = + 1,09 В

ΔU₂ = U₄ – U_ср = + 0,32 В

ΔU₂ = U₅ – U_ср = - 0,79 В

ΔU₂ = U₆ – U_ср = - 0,40 В

ΔU₂ = U₇ – U_ср = - 1,17 В

ΔU₂ = U₈ – U_ср = - 0,29 В

ΔU₂ = U₉ – U_ср = + 2,28 В

ΔU₂ = U₁₀ – U_ср = + 1,04 В

3. Проверяем правильность вычислений: для этого определяем сумму абсолютных погрешностей всех единичных измерений, которая должна быть равна нулю:

– (1,52 + 0,56 + 0,79 + 0,40 + 1,17 + 0,29) + ( 1,09 + 0,32 + 2,28 + 1,04) = 0

Проверка показала, что вычисления выполнены правильно.

4. Вычисляем среднеквадратическое отклонение погрешности σ, которое характеризует случайную погрешность единичного измерения:

σ = √ Σ ΔU_i² / n - 1 =

= √ ( 2,31+0,3136+1,188+0,1024+0,6241+0,160=1,369+0,084+5,198+1,082) / 10 - 1=1,166 В

С помощью критерия 3σ оценим отклонения единичного измерения U_i от среднего U_ср. Если результаты измерений отклоняются от U_ср больше чем на 3σ, то эти результаты не учитываются. В нашем примере 3σ = 3 ·1,166 = 3,5 и, как следует из табл. 1.4 ни одно из ряда измерений не отклоняется от U_ср. = 151,04 В. Следовательно, грубых ошибок (промахов) в полученном ряде измерений нет.

5. Среднеквадратическое отклонение среднего арифметического (среднеквадратическую погрешность результата измерения σ_рез)

6. σ_рез =σ/√ n = 1,16/√10 = 0,366 В

Для количества измерений 2 < n < 20 при нормальном законе распределения для определения доверительного интервала нужно пользоваться коэффициентами Стьюдента t(ρ,n), который зависит от количества измерений n и задаваемой доверительной вероятностью ρ (табл. 3.1).

Для определения доверительного интервала среднеквадратическую погрешность σ_рез надо умножить на коэффициент Стьюдента t(ρ,n). Для рассматриваемого примера зададим доверительную вероятность ρ=0,95; n=10. Из табл. 3.1 находим t(ρ, n)=2.3, тогда доверительный интервал равен ± 2,3 σ_рез. Результат измерения можно записать так: Х_изм = Х_ср ± 2,3хσ_рез.

Х_изм = 151,04 ± (2,3х0,366) В =151,04 ± 0,84 В

4.Оснащение.Персональные компьютеры. Интернет ресурсы.

5. Задания.

Рассчитайте наиболее достоверное значение измеряемой физической величины и уменьшения влияния случайных погрешностей выполненых в одинаковых условиях и одним и тем же прибором ряд повторных измерений (n = 10) (Таблица 5.1).

Таблица 5.1 Варианты заданий выполнения лабораторной работы

6. Порядок выполнения работы.

6.1 Приведите таблицу 5.2 с данными Вашего варианта.

Таблица 5.2 Результаты выполнения лабораторной работы.

6.2 В соответствии с пунктом 3.3 рассчитайте:

· Действительное значение физической величины Вашего варианта.

· Определите абсолютную погрешность каждого измерения и наличие в результатах измерений грубых ошибок (промахи).

· Рассчитайте среднеквадратическое отклонение среднего арифметического, т.е. среднеквадратическую погрешность результата измерения σ_рез, запишите результат измерения с учетом доверительного интервала и коэффициента Стьюдента, используя вышеизложенные правила округления результата измерения и погрешности измерения.

6.3 Сделайте вывод по работе

7. Контрольные вопросы

7.1 Что такое погрешность?

7.2 Перечислите причины появления погрешностей.

7.3 Чем отличаются абсолютная, приведенная погрешность?

7.4 Чем отличаются систематические, случайные и грубые погрешности?

7.5 Назовите основные законы распределения случайных погрешностей.

7.6 Когда используется распределение Стьюдента?

7.7 Назовите правила округления результатов измерений.

8. Литература

ОИ - Основные источники учебной литературы:

1. Метрология, стандартизация и сертификация: учебник / А.С., Сигов В.И., Нефедов, В.К. Битюков и др; под ред. А.С. Сигова. – 3-е изд, – М.: ФОРУМ, 2013. – 336 с.

2. Шишмарев В.Ю., Метрология, стандартизация, сертификация и техническое регулирование: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / В.Ю. Шишмарев, - 4-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2011. – 320 с.

ДИ -Дополнительные источники (печатные издания, электронные ресурсы):

1. Архипова, А.М. Метрология. Стандартизация. Сертификация [Электронный ресурс].: Профессиональный учебник – М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2013. – 495 с.

2.www. rostest.ru/termins/ (ФБУ РОСТЕСТ-МОСКВА- официальный сайт, метрология, стандартизация, сертификация).

3.www. metrob. ru/ (Метрология – наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: