Сделай Сам Свою Работу на 5

Независимые испытания. Схема Бернулли. Формула Бернулли.





Вероятность появления хотя бы одного события

 

Пусть в результате испытания могут появиться п событий А1, A2, .... Аn, независимых в совокупности, причемвероятности появления каждого из событий равны p(Ai)= .

А- появилось хотя бы одно из n событий А1, A2, .... Аn

P(A)=1- q1q2×...×qn, где , qi=p(Āi)

Если события А1, A2, .... Аn имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

P(A) = l — qn, где .

 

Пример. Система радиолокационных станций ведет наблюдение за группой объектов, состоящей из 10 единиц. Каждый из объектов может быть (независимо от других) потерян с вероятностью 0,1. Найти вероятность того, что хотя бы один из объектов будет потерян.

Решение.

 

Формула полной вероятности.

 

Пусть - полная группа несовместных событий. Пусть имеется некоторое событие А, которое может произойти с любым из событий . - известны.

Тогда

. – формула полной вероятности.

События в такой ситуации называются гипотезами.

Пример. В сборочный цех завода поступает 40% деталей из I цеха и 60% из II цеха. В I цехе производится 90% стандартных деталей, а во II – 95%. Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь стандартна.



Решение.

А={взятая наудачу деталь стандартна}

Гипотезы: ={деталь изготовлена I цехом}

={деталь изготовлена II цехом}

P( )=0,4; =0,9

P( )=0,6; =0,95

Тогда .

Замечание. Для вероятностей гипотез справедливо, что .

Формулы Байеса.

 

Пусть до опыта имеются гипотезы . После опыта становится известной информация о его результатах, но не полная., т.е. результаты наблюдений показывают, не какой конкретный элементарный исход из пространства элементарных событий произошел, а что наступило некоторое событие А. Считая, что до опыта были известны априорные вероятности гипотез и условные вероятности , требуется определить апостериорные вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса.

.

где р(А) вычисляется по формуле полной вероятности.

 

Пример 1. В условия предыдущего примера, найти вероятность того, что извлеченная стандартная деталь изготовлена II цехом.

Решение. .

Пример 2. Два охотника одновременно стреляют одинаковыми пулями в медведя. В результате медведь был убит одной пулей. Как охотники должны поделить шкуру убитого медведя, если известно, что вероятность попадания у первого охотника 0,3, а у второго – 0,6?



Решение.

А={медведь был убит одной пулей};

Н1={попал первый охотник, второй промахнулся}; Р(Н1)=0,3*(1-0,6)=0,12; Р(А|Н1)=1;

Н2={попал второй охотник, первый промахнулся}; Р(Н2)=0,6*(1-0,3)=0,42; Р(А|Н2)=1;

События Н1, Н2 несовместные, но они не образуют полную группу событий. Введем еще две гипотезы.

Н3={попали оба охотника}; Р(Н3)=0,3*0,6=0,18; Р(А|Н3)=0;

Н4={оба охотника промахнулись}; Р(Н4)=(1-0,3)*(1-0,6)=0,28; Р(А|Н4)=0;

По формуле Байеса

Таким образом, при справедливом дележе первый охотник должен получить 2/9 шкуры, т.е. меньше 1/4, в то время как, на первый взгляд, казалось, что ему причитается 1/3 шкуры.

Независимые испытания. Схема Бернулли. Формула Бернулли.

 

Определение 1. Несколько опытов называются независимыми, если вероятность исхода каждого из опытов не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.

Например, несколько последовательных бросаний монеты будут независимыми опытами.

Определение 2. Несколько опытов называются независимыми, если их исходы - это независимые в совокупности события.

 

Определение 3. Последовательность п независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие А (успех) с вероятностью или противоположное ему событие (неудача) с вероятностью , называется схемой Бернулли.

В каждом таком опыте , где - неудача, - успех, при этом . Пространство элементарных исходов для п опытов состоит из исходов. Например, при п=3, т.е. опыт повторяется 3 раза, .



Вероятность каждого элементарного события определяется однозначно. Например, по теореме умножения вероятностей .

Часто успеху сопоставляют число 1, а неудаче – число 0. Элементарным событием для п опытов будет последовательность из т нулей и единиц. Тройка чисел (0,0,0) означает, что во всех трех опытах событие А не наступило; тройка чисел (0,1,0) означает. Что событие наступило во втором опыте, а в первом и третьем не наступило.

Вероятность, того что в п независимых испытаниях Бернулли вероятность события А наступит раз определяется по формуле Бернулли:

.

Пример 1.Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна р = 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна р = 0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q=l—р=10,75 = 0,25.

Искомая вероятность по формуле Бернулли равна

.

Замечание. Вероятности являются коэффициентами при в разложении по формуле бинома Ньютона:

, где z – произвольный параметр. Поэтому совокупность вероятностей называют биномиальным законом распределения вероятностей, а функцию - производящей функцией для схемы Бернулли.

Пусть теперь производится п независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие А, причем вероятность появления события А в i-том опыте равна , а вероятность непоявления ( ). Тогда вероятность того, что в такой последовательности из п независимых испытаний вероятность события А наступит раз, равна коэффициенту при многочлена

,

который также называется производящей функцией. Здесь z – произвольный параметр.

Пример 2. Производится 4 независимых выстрела по одной и той же цели с различных расстояний; вероятности попадания при этих выстрелах равны соответственно Найти вероятности ни одного, одного, двух, трех и четырех попаданий.

Решение. Составим производящую функцию:

Замечание . В обоих случаях сумма всех вероятностей Рn(k) рана 1.

 

Пример 3 Имеется 5 станций, с которыми поддерживается связь. Время от времени связь прерывается из-за атмосферных помех. Вследствие удаленности станций прерывание связи с каждой из них происходит независимо от остальных с вероятностью p=0,2. Найти вероятность того, что в данный момент времени будет иметься связь не более, чем с двумя станциями.

Решение.

1)

2) Это событие можно свести к событию, что будет нарушена связь не менее чем с тремя станциями.

или .

Если в серии из п независимых опытов, в каждом из которых может произойти одно и только одно из т событий с соответствующими вероятностями , то вероятность того, что в этих опытах событие появится раз, событие - раз,…, событие - раз ( ), равна

.

Эта формула называется полиномиальным законом распределения вероятностей.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.