Проверка гипотез о законе распределения.

Проверка статистических гипотез.

Статистическая гипотеза -- это предположение о генеральной совокупности, высказанное на основании статистических выборочных данных.

Статистическая проверка гипотез -- это процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы с имеющимися выборочными данными.

Например: исследуем влияние нового лекарственного препарата на снижение артериального давления.

X{x₁, x₂, … x_n1} -- контрольная группа (выборка, объёмом n₁)

Y{y₁, y₂, … y_n2} -- опытная группа (выборка объёмом n₂)

Высказываются две альтернативные гипотезы:

Н₀: -- различия между выборками не достоверны (т.е. носят случайный характер).

Н: -- различия между выборками достоверны (т.е. влияние препарата достоверно (эффективно))

Чтобы принять или опровергнуть эти предположения, используют статистические критерии или критерии достоверности.

Статистический критерий -- это случайная величина, закон распределения которой известен, т.е. каждому значению критерия поставлена в соответствие вероятность, с которой он эти значения принимает.

Для каждого критерия существует таблица, в которой содержатся критические значения критерия. Каждое критическое значение соответствует определённому уровню значимости α и числу степеней свободы (или к)

где а -- число наложенных связей или ограничений.

α=1-Р_{Д --} это вероятность принять ошибочную гипотезу.

Критические значения позволяют определить вероятность нулевой гипотезы: Р(Н₀).

Гипотеза Н₀ принимается, если в результате проверки выяснилось, что её вероятность больше выбранного уровня значимости.

если Р(Н₀)>α , то Н₀ принимаем,

если Р(Н₀)<α , то Н₀ отвергаем.

Например: Хотим доказать достоверность различия между выборками X{x₁, x₂, … x_n1}иY{y₁, y₂, … y_n2} с Р_Д=0,95 (это значит, что влияние препарата достоверно (эффективно) на 95%).

Если в результате проверки выяснилось, что Р(Н₀)˃α , (т.е. ˃0,05), то мы вынуждены принять гипотезу Н₀, так как Р(Н)<Р_Д

Р(Н)<0,95.

Основные этапы проверки статистических гипотез.

1).Выдвигается гипотеза Н_0.

2).Выбирается величина уровня значимости α (α=1-Р_Д).

3).По заданному α и числу степеней свободы ν(или к) в таблице находим критическое (табличное) значение критерия.

4).Подсчитывается экспериментальное значение критерия по имеющимся выборкам (для каждого критерия существует формула для определения значения критерия).

5).С помощью сравнения экспериментального и критического значений делается вывод о правомерности гипотезы Н₀.

6).Если Н₀ принимается, следовательно гипотеза Н (о достоверности различий) не верна.

Если Н₀ отвергается, следовательно верна гипотеза Н..(Н₀ и Н -- противоположные события).

Критерии достоверности подразделяются на параметрические и непараметрические.

Параметрическиекритерии для вычисления экспериментального значения используют статистические параметры: . Они могут использоваться для выборочных совокупностей, распределённых по закону близкому к нормальному (Гаусса).

Непараметрические критерии не требуют вычисления выборочных параметров, они менее точны, дают более грубую оценку, чем параметрические критерии, но:

1). Их можно применять к выборкам, закон распределения которых неизвестен (не обязательно нормальное распределение).

2). Они проще и позволяют быстрее производить проверку рассматриваемых гипотез.

Проверка гипотез о законе распределения.

Проверку гипотезы о законе распределения (то есть, соответствует ли выборочная совокупность какому либо определённому распределению) проводят с помощью критерия соответствия (предложен К.Пирсоном в 1900г.).

Критерий Пирсона ( ).

Н₀заключается в том, что различие между наблюдаемыми экспериментальными частотами m_i попадания вариант выборки в интервалы вариационного ряда от вычисленных теоретических частот m_{i теор}=m_i·P_{i теор} не достоверно (т.е. носит случайный характер). Другими словами:

Н₀: экспериментальные данные соответствуют предложенному теоретическому закону распределения.

Экспериментальное значение критерия вычисляется по формуле:

где -- объём выборки, к -- количество интервалов,

-- вероятность попадания в интервал для теоретического распределения.

Затем, по таблице критерия Пирсона для заданного уровня значимости α и числа степеней свободы , где а -- число наложенных связей, находим .

если теоретическое распределение произвольное, то а=1,

если теоретическое распределение распределено по нормальному закону Гаусса, то а=3 -- числу параметров, необходимых для вычисления вероятности: М[X],D[X] и σ[X],. следовательно

Если Н₀ принимаем.

Вывод: экспериментальное распределение соответствует теоретическому.

Если Н₀ отвергаем.

Вывод: экспериментальное распределение не соответствует теоретическому.

Пример: Изучался рост 50 человек. В таблице приведены экспериментальные частоты попадания в интервал m_i и теоретические частоты, рассчитанные из вероятностей попадания в интервал для распределения Гаусса. К=5 , n=50.ν=5-3=2,

№ интервала
mi практические
mi теоретические
	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Н₀: Экспериментальное (практическое) распределение соответствует распределению Гаусса. (То есть различие между частотами не достоверно, носит случайный характер).

Из таблицы для ν=5-3=2 и ά=0,05 находим =5,99

Т.к. Н₀ принимаем.

Вывод: практическое распределение соответствует распределению Гаусса.

Критерий Стьюдента.

Параметрический критерий , который используют для проверки статистических гипотез по выборкам, распределённым по нормальному закону Гаусса.

Используется:

1). Для определения достоверности среднего арифметического, полученного для одной выборки.

2). Для определения достоверности различия средних арифметических двух выборок.

3). Для определения достоверности корреляции двух случайных величин.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: