Следствие. Если хотя бы для одного не крайнего коэффициента условие (2а) не выполняется, т.е.
,
То имеется хотя бы одна пара комплексных корней.
Методы уточнения корней
Имеем: для уравнения (1) на интервале (a,b) отделен корень . Требуется уточнить отделенный корень с ошибкой, определяемой заданной величиной .
Рассмотрим четыре метода уточнения отделенных корней.
Метод половинного деления
Имеем: f(x)=0, (a,b), где - точное значение корня,
а) f(x) – непрерывнана отрезке [ab],
б) f(a)· f(b)< 0.
Метод половинного деления состоит в построении путем деления пополам последовательности вложенных отрезков
[ak,bk] [ak-1bk-1] [a0,b0 ] [a,b], на концах которых удовлетворяются условия f(ak)·f(bk)<0, k=1,2,…, а вложенные отрезки определяются делением предыдущего отрезка пополам.
Рис. 2. К методу половинного деления
В соответствии с Рис.2 имеем:
1) , вычисляется , если
2, иначе процесс деления продолжается:
2) , вычисляется , если
2 22, иначе процесс деления продолжается:
………………………………………………………………………….
k) , вычисляется , если 2 2k, иначе процесс деления продолжается k=1,2,3,… .
Очевидно:
Таким образом, метод половинного деления сходится к , как геометрическая прогрессия со знаменателем равным 1/2.
Достоинства: 1) прост в алгоритмизации и программировании;
2) на функцию f(x) не накладываются ограничения, кроме ее непрерывности.
Недостаток: метод медленно сходится! - сходимость первого порядка
На практике итерационный процесс останавливается при выполнении неравенства:
а результатом является .
Метод Ньютона (метод касательных)
В данном методе функция f(x) должна удовлетворять на отрезке (a,b) следующим условиям:
1) функция должна быть дважды дифференцируема;
2) (x) ≠ 0; (*)
3) , на отрезке [a,b].
Итерационный алгоритм в методе Ньютона имеет вид
, k=0,1,2,… (3)
x0=b или x0=a,
где: xk – значение корня на k-ой итерации;
hk=? – корректирующая поправка xk на k-ой итерации.
Требуется определить hk.
Представим график функции f(x), удовлетворяющий условиям (*), на отрезке [a,b] на Рис.3
Пояснение метода Ньютона на Рис.3.
Рис.3. Метод Ньютона
Из (прямоугольного) имеем / откуда , тогда на основании (2а) имеем
Аналогично из прямоугольного треугольника получаем
В общем случае для (k+1)-ой итерации можно записать
(3а)
Сходимость итерационного алгоритма (2*) или (3а) очевидна.
Остановка итерационного алгоритма производится при выполнении условия , а результатом является .
Достоинство – сходимость метода на порядок больше по сравнению с методом половинного деления.
Недостатки: – более жесткие требования к f(x) (смотри (*));
– в каждой итерации необходимо вычислять и
Метод секущих (хорд)
Требования к f(x) такие же, как в методе Ньютона. Итерационный алгоритм метода секущих получается из итерационного алгоритма методом Ньютона (3а) заменой производной ее приближенным значением
а) , если ,
или б) , если ,
При замене производной по формулеа) получим алгоритм метода секущих с неподвижным правым концом
(4)
Покажем графически алгоритм метода секущих с неподвижным правым концом, т.е. для условия а)
Рис. 4. Метод секущих
Итерации сходятся к со скоростью метода Ньютона. Остановка алгоритма при выполнении условия – заданная ошибка, а результатом является .
Метод простых итераций
Метод простых итераций уточнения корней уравнения (1) состоит в замене этого уравнения эквивалентным ему уравнением
и (5)
и построении последовательности
(6)
Если не удается выразить х из уравнения (1), то эквивалентное уравнение и эквивалентную функцию можно построить, например, так
x=x+f(x), =x+f(x), а далее выстраивается последовательность (6).
Последовательность (6) называется методом простых итераций.
Два вопроса:
1) сходится ли последовательность (6)?
2) если сходится, то является ли предел сходимости корнем уравнения (1) на интервале (a,b)?
Ответ на вопросы дает теорема о достаточном условии сходимости метода простой итерации к точному решению нелинейного уравнения, формирующаяся следующим образом: если функция в эквивалентном уравнении (5) определена и дифференцируема на отрезке x и если существует число q такое, что на отрезке выполняется неравенство , то последовательность (6) сходится к единственному корню уравнения (1) на интервале (a,b)при любом начальном приближении .
Точность последовательности (6) определяется неравенством
, (7)
или . (7а)
Остановка итерационного процесса (6) производится при выполнении
(8)
где - заданная точность вычисления корня .
Действительно, на основании (7) максимальная величина ошибки на k-ой итерации равна
(9)
Учитывая требование < , на основании (9) можно записать
, что идентично с (8).
Геометрическая интерпретация сходимости метода простых итераций:
Рис.5. Метод простой итерации
Метод простой итерации имеет линейную сходимость или первый порядок сходимости, т.е.
Пример:
Уточнить отделённый корень на интервале (0.5, 1.0) с точностью
иначе
продолжить итерации до выполнения условия остановки.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|