Сделай Сам Свою Работу на 5

Электрическое поле равномерно заряженной плоскости





Лекеция 2

Теорема Гаусса в интегральной форме

  Рис. 1

Электрическое поле обладает важным свойством: потоком вектора напряженности (потоком вектора ).Для наглядности воспользуемся геометрической картиной описания электрического поля: число силовых линий напряженности равно напряженности электрического поля. Часть силовых линий будет пронизывать элементарную площадку dS, вектор нормали которой составляет угол a с вектором (рис. 1).

Потоком вектора напряженности электрического поля называют интеграл по поверхности от скалярного произведения векторов и dS .

(1)

Элементарный поток вектора напряженности электростатического поля

, (2)

где Еn - проекция вектора на нормаль .

В замкнутых поверхностях вектор нормали направленнаружу (внешняя нормаль), охватываемой этой поверхностью.

Замечание: понятие потока относится к любому векторному полю.

Для того чтобы найти поток вектора , окружим точечный заряд произвольной замкнутой поверхностью S (рис. 2).

  Рис. 2

По определению поток вектора

(3)

где - телесный угол, опирающийся на элемент dS поверхности S, с вершиной в точке расположения заряда q; - напряженность электрического поля точечного заряда.



Интегрирование (3) по всей поверхности S эквивалентно интегрированию по всему телесному углу W = 4p. Следовательно, после интегрирования

. (4)

Если замкнутая поверхность охватывает систему точечных зарядов (как положительных, так и отрицательных) q1, q2, ... , qn, то согласно принципу суперпозиции напряженность результирующего поля

,

где Еi - напряженность электрического поля i -го точечного заряда.

Полный поток вектора напряженности, созданного системой зарядов, запишем в виде

(5)

Поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряды, пропорционален алгебраической сумме зарядов.

Если заряды q1, q2, ... , qn находятся вне замкнутой поверхности, то полный поток вектора через эту поверхность равен нулю.

Замечание: напряженность электрического поля зависит от расположения всех зарядов в замкнутой поверхности, а поток вектора останется неизменным.

Теорема Гаусса в дифференциальной форме.



 

Используя формулу объемной плотности заряда, имеем

, (6)

где <r> - среднее значение объемной плотности заряда в объеме V.

Значение q из (6) подставим в (2), предварительно разделив правую и левую части его на объем V:

. (7)

При стягивании объема V в интересующей нас точке поля к нулю (V® 0) средняя объемная плотность заряда <r> будет стремиться к истинному значению r в данной точке электрического поля, т. е. отношение в левой части (7) будет стремиться к .

Величина, являющая пределом отношения к V при V® 0, называется дивергенцией поля .

Дивергенциюполя обозначаютсимволомdiV , т. е. по определению

. (8)

Согласно (8) дивергенция является скалярной функцией координат.

Для нахождения отношения потока вектора к объему V берут бесконечно малый объем dV и определяют поток вектора , пронизывающий произвольную замкнутую поверхность, охватывающий объем dV.

В декартовой системе координат

. (9)

Таким образом, при V® 0 в формуле (8) его левая часть стремится к diV , а правая - к .

Следовательно, . (10)

Формула (10) выражает теорему Гаусса в дифференциальной форме.

Запись формул и действия с ними упрощаются при введении векторного дифференциального оператора

, (11)

где - единичные векторы осей Х, У, Z соответственно.

Векторный дифференциальный оператор приобретает вполне определенный смысл только в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую символически умножается, т. е. теорему Гаусса в дифференциальной форме

= (12)

Теорема Гаусса является локальной, т. е. дивергенция поля в заданной точке этого поля зависит только от объемной плотности электрического заряда.



 

 

Применение теоремы Гаусса.

 

Электрическое поле равномерно заряженной плоскости

 

Пусть бесконечная плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью заряда +s.

  Рис. 3

Из свойств симметрии заряженной плоскости следует, что вектор напряженности электрического поля, созданного этой плоскостью, всюду перпендикулярен ей.

В симметричных точках этого поля вектор равен по модулю и противоположен по направлению. В связи с этим в качестве замкнутой поверхности можно выбрать цилиндрическую (рис. 3). Полный поток вектора пронизывающий

Фе = 2ЕS.

Согласно теореме Гаусса

 

,

где

.

Таким образом,

или

, (13)

где Еn - проекция вектора на нормаль ( ­­ , рис. 3).

Если s > 0, то Еn > 0, т. е. вектор направлен от заряженной плоскости (линии напряженности начинаются на положительных зарядах).

Если s < 0, то Еn < 0, т. е. вектор форме направлен к заряженной плоскости (линии напряженности оканчиваются на отрицательных зарядах).

Согласно (13) напряженность электростатического поля, созданного равномерно заряженной бесконечной плоскостью, не зависит от расстояния до нее, а поле является однородным справа и слева от плоскости.

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.