Электрическое поле равномерно заряженной плоскости
Лекеция 2
Теорема Гаусса в интегральной форме
Рис. 1
| Электрическое поле обладает важным свойством: потоком вектора напряженности (потоком вектора ).Для наглядности воспользуемся геометрической картиной описания электрического поля: число силовых линий напряженности равно напряженности электрического поля. Часть силовых линий будет пронизывать элементарную площадку dS, вектор нормали которой составляет угол a с вектором (рис. 1).
Потоком вектора напряженности электрического поля называют интеграл по поверхности от скалярного произведения векторов и dS .
(1)
Элементарный поток вектора напряженности электростатического поля
, (2)
где Еn - проекция вектора на нормаль .
В замкнутых поверхностях вектор нормали направленнаружу (внешняя нормаль), охватываемой этой поверхностью.
Замечание: понятие потока относится к любому векторному полю.
Для того чтобы найти поток вектора , окружим точечный заряд произвольной замкнутой поверхностью S (рис. 2).
Рис. 2
| По определению поток вектора
(3)
где - телесный угол, опирающийся на элемент dS поверхности S, с вершиной в точке расположения заряда q; - напряженность электрического поля точечного заряда.
Интегрирование (3) по всей поверхности S эквивалентно интегрированию по всему телесному углу W = 4p. Следовательно, после интегрирования
. (4)
Если замкнутая поверхность охватывает систему точечных зарядов (как положительных, так и отрицательных) q1, q2, ... , qn, то согласно принципу суперпозиции напряженность результирующего поля
,
где Еi - напряженность электрического поля i -го точечного заряда.
Полный поток вектора напряженности, созданного системой зарядов, запишем в виде
(5)
Поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряды, пропорционален алгебраической сумме зарядов.
Если заряды q1, q2, ... , qn находятся вне замкнутой поверхности, то полный поток вектора через эту поверхность равен нулю.
Замечание: напряженность электрического поля зависит от расположения всех зарядов в замкнутой поверхности, а поток вектора останется неизменным.
Теорема Гаусса в дифференциальной форме.
Используя формулу объемной плотности заряда, имеем
, (6)
где <r> - среднее значение объемной плотности заряда в объеме V.
Значение q из (6) подставим в (2), предварительно разделив правую и левую части его на объем V:
. (7)
При стягивании объема V в интересующей нас точке поля к нулю (V® 0) средняя объемная плотность заряда <r> будет стремиться к истинному значению r в данной точке электрического поля, т. е. отношение в левой части (7) будет стремиться к .
Величина, являющая пределом отношения к V при V® 0, называется дивергенцией поля .
Дивергенциюполя обозначаютсимволомdiV , т. е. по определению
. (8)
Согласно (8) дивергенция является скалярной функцией координат.
Для нахождения отношения потока вектора к объему V берут бесконечно малый объем dV и определяют поток вектора , пронизывающий произвольную замкнутую поверхность, охватывающий объем dV.
В декартовой системе координат
. (9)
Таким образом, при V® 0 в формуле (8) его левая часть стремится к diV , а правая - к .
Следовательно, . (10)
Формула (10) выражает теорему Гаусса в дифференциальной форме.
Запись формул и действия с ними упрощаются при введении векторного дифференциального оператора
, (11)
где - единичные векторы осей Х, У, Z соответственно.
Векторный дифференциальный оператор приобретает вполне определенный смысл только в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую символически умножается, т. е. теорему Гаусса в дифференциальной форме
= (12)
Теорема Гаусса является локальной, т. е. дивергенция поля в заданной точке этого поля зависит только от объемной плотности электрического заряда.
Применение теоремы Гаусса.
Электрическое поле равномерно заряженной плоскости
Пусть бесконечная плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью заряда +s.
Рис. 3
| Из свойств симметрии заряженной плоскости следует, что вектор напряженности электрического поля, созданного этой плоскостью, всюду перпендикулярен ей.
В симметричных точках этого поля вектор равен по модулю и противоположен по направлению. В связи с этим в качестве замкнутой поверхности можно выбрать цилиндрическую (рис. 3). Полный поток вектора пронизывающий
Фе = 2ЕS.
Согласно теореме Гаусса
,
где
.
Таким образом,
или
, (13)
где Еn - проекция вектора на нормаль ( , рис. 3).
Если s > 0, то Еn > 0, т. е. вектор направлен от заряженной плоскости (линии напряженности начинаются на положительных зарядах).
Если s < 0, то Еn < 0, т. е. вектор форме направлен к заряженной плоскости (линии напряженности оканчиваются на отрицательных зарядах).
Согласно (13) напряженность электростатического поля, созданного равномерно заряженной бесконечной плоскостью, не зависит от расстояния до нее, а поле является однородным справа и слева от плоскости.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|