Сделай Сам Свою Работу на 5

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал.





Где - интегральная функция Лапласа, задается таблично.

Из свойств определенного интеграла Ф(-х)= - Ф(х), т.е. функция Ф(х) – нечетная.

Отсюда выводятся следующие (производные) формулы:

Полагая: а) d=s

(68%)

б) d=2s

(95%)

в) d=3s

(»100%)

Правило трех сигм (3s):практически достоверно, что при однократном испытании, отклонение нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания не превышает утроенного средне-квадратического отклонения.

Задача: Предполагается, что масса вылавливаемых в пруду зеркальных карпов есть случайная величина Х, имеющая нормальное распределение с математическим ожиданием a=375 г. и средним квадратическим отклонением s = 25 г. Требуется определить:

А) Вероятность, что масса случайно выловленного карпа окажется не менее a=300 г. и не более b=425 г.

Б) Вероятность, что отклонение указанной массы от среднего значения (математического ожидания) по абсолютной величине будет меньше d= 40 г.

В) По правилу трех сигм найти минимальную и максимальную границы предполагаемой массы зеркальных карпов.

Решение:

А)

Вывод: Примерно 98% карпов, плавающих в пруду, имеют массу не менее 300 г. и не более 425 г.



Б)

Вывод: Примерно 89% имеют массу от a-d = 375- 40 = 335 г. до a+d = 375 + 40 = 415 г.

В) По правилу трех сигм:

Вывод: Масса практически всех карпов (примерно 100%) заключена в интервале от 300 до 450 грамм.

Задачи для самостоятельного решения

1. Стрелок поражает мишень с вероятностью 0,8. Какова вероятность, что при трех выстрелах мишень будет поражена ровно два раза? Хотя бы два раза?

2. В семье четверо детей. Принимая рождения мальчика и девочки как равновероятные события, оценить вероятность, что в семье две девочки. Три девочки и один мальчик. Составить закон распределения для случайной величины Х, соответствующей возможному количеству девочек в семье. Рассчитать характеристики: М(Х), s.

3. Игральную кость подбрасывают три раза. Какова вероятность, что «6» выпадет один раз? Не более одного раза?

4. Случайная величина Х равномерно распределена на интервале [0,1]. Какова вероятность попадания случайной величины Х на интервал [0,8;2]?

5. Предполагается, что рост людей (для определенности – взрослых, мужчин), проживающих в некоторой местности, подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием а=170 см и среднеквадратическим отклонением s=5 см. Какова вероятность, что рост случайно выбранного человека:



А) окажется не более 180 см и не менее 165 см?

Б) отклоняется от среднего по абсолютной величине не более чем на 10 см?

В) по правилу «трех сигм» оценить минимально и максимально возможный рост человека.

Контрольные вопросы

1. Как записывается формула Бернулли? Когда она применяется?

2. Что представляет собой биномиальный закон распределения?

3. Какая случайная величина называется равномерно распределенной?

4. Какой вид имеют интегральная и дифференциальная функции распределения для случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [a, b]?

5. Какая случайная величина имеет нормальный закон распределения?

6. Как выглядит кривая плотности нормального распределения?

7. Как найти вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал?

8. Как формулируется правило «трех сигм»?

Введение в теорию случайных процессов

Случайной функцией называют функцию, значение которой при каждом значении независимой переменной является случайной величиной.

Случайным (или стохастическим) процессом называют случайную функцию, для которой независимой переменной является время t .

Иначе говоря, случайный процесс – это случайная величина, изменяющаяся во времени. Случайный процесс X(t) на является определенной кривой, он является множеством или семейством определенных кривых xi(t) (i = 1, 2, …, n), получаемых в результате отдельных опытов. Каждую кривую этого множества называют реализацией (или траекторией) случайного процесса.

Сечением случайного процесса называют случайную величину X(t0), соответствующую значению случайного процесса в некоторый фиксированный момент времени t = t0.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.