|
|
Математика шахматных фигур12
Существует ли магический маршрут, следуя которым, конь может обойти все клетки шахматной доски, побывав на каждой лишь один раз? Это самый трудный из вопросов теории, остающихся пока без ответа. Доказано, что магические маршруты возможны лишь на досках, порядки которых кратны 4. Поскольку на доске 4-го порядка магический маршрут не существует, обычная шахматная доска 8X8 является квадратной доской наименьших размеров, для которой вопрос остается открытым. Не известен ни один магический маршрут, позволяющий обойти ходом коня все клетки доски 12X12, однако для досок 16, 20, 24, 32, 40, 48 и 64-го порядков магические маршруты построены. [3] Задачи, связанные с шахматами, часто встречаются на олимпиадах. Например, на XXXIV Всероссийской математической олимпиаде школьников за 2007-2008 учебный год в г. Архангельске в 9-11 классах были предложены следующие задачи.
Нетрудно проверить, что расстановка на рис. 11 удовлетворяет условию. Допустим, существует такая расстановка, когда ладей меньше, чем 16. Если на какой-либо горизонтали нет ни одной ладьи, то каждая из её клеток может находиться под боем не более двух ладей. Следовательно, на одной из горизонталей (назовём её H) должна стоять ровно одна ладья (назовём её r). Рассмотрим любую из семи свободных клеток на H. Сверху и снизу от неё должно находиться по ладье, поэтому ладей хотя бы 1+2*7=15. Значит, их ровно 15, причём семь из них стоят выше H, а другие семь – ниже. На вертикали, где стоит r (назовём её V), больше ладей нет. Поэтому, из аналогичных соображений, на любой горизонтали, кроме H, стоят ровно две ладьи: одна левее V, другая – правее (если их больше двух, то всего ладей уже 16). Значит, сверху от H стоит чётное число ладей; но мы знаем, что их 7. Противоречие.
Рассмотрим фигуру, изображённую на рисунке 12. Легко проверить, что путь коня от любой из четырёх клеток этой фигуры до любой другой состоит не менее, чем из трёх ходов. Шестнадцатью такими фигурами можно замостить всю доску (рис. 13). По принципу Дирихле одна из этих шестнадцати фигур содержит по крайней мере две отмеченные клетки. Они и будут искомыми.
Заключение Шахматы справедливо считают единственной игрой из всех, придуманных человеком, в которой сочетаются спорт, искусство и наука. Почему шахматы привлекательны для людей разных возрастов и профессий? Потому что, играя в шахматы, мы приобретаем много полезных качеств, тренируем память, учимся упорству, находчивости, развиваем фантазию. Занятие шахматами способствует развитию математических способностей человека. Шахматы – это и вид интеллектуальной борьбы, и соревнование, а любое соревнование совершенствует сильные черты личности. Под словом «игра» понимается не только забава, отдых или спорт, но, что гораздо важнее, возможность создать на шахматной доске необычное, фантастическое – в этом шахматы близки к искусству. Но к шахматам можно относиться и как к науке со своими законами, принципами. Шахматы содержат в себе элементы научного исследования – именно такой подход свойствен многим выдающимся шахматистам. Задачи, связанные с шахматной теорией, широко применяются в математике. В ходе работы мы исследовали связь математики и шахмат, рассмотрели математические решения задач, связанных с шахматной доской и шахматными фигурами. Таким образом, цель работы достигнута. Работу можно использовать для подготовки к олимпиадам, конкурсам, проведения кружков, спецкурсов.
Библиография
Приложение 1 Леонард Эйлер (1707 – 1783). Портрет 1756 года, выполненный Эмануэлем Хандманном
Приложение 2 Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855)
Приложение 3 «Меланхолия» - гравюра Альбрехта Дюрера
Приложение 4 Фрагмент гравюры Дюрера «Меланхолия»
Приложение 5 Шахматная доска
12 Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|
Рассмотрим задачи, связанные с шахматными фигурами.
Задача 8. Требуется обойти ходом коня все клетки шахматной доски, побывав на каждой из них только один раз. Ею занимались многие крупные математики, в том числе Леонард Эйлер, посвятивший ей большой труд. [7] Хотя задача была известна и до Эйлера, лишь он впервые обратил внимание на её математическую сущность. Значительно труднее проблема, состоящая не в отыскании определенного маршрута коня по доске, а в нахождении всех маршрутов и подсчете их числа. Увы, эта задача не решена до сих пор, и шансов на успех немного. Известно, правда, что число решений не превосходит число сочетаний из 168 элементов по 63 (оно состоит из ста цифр), но больше 30 миллионов. [4] Обычно при решении задачи об обходе конём клеток шахматной доски ограничиваются рассмотрением маршрутов, обладающих необычной симметрией или (если клетки доски перенумерованы в порядке обхода) порождающих матрицу с замечательными арифметическими свойствами. Известно много методов для нахождения маршрутов коня, которые носят имя первооткрывателей. Например, замкнутый маршрут на рис. 9 – одно из многочисленных решений задачи, найденных в 1759 г. Эйлером, - сначала пролегает по верхней половине доски и лишь затем переходит на её нижнюю половину. Решение Эйлера обладает ещё одной особенностью: разность между любыми двумя числами, расположенными симметрично относительно центра доски (на прямой, проходящей через него), всегда равна 32. На рис. 10 изображен открытый маршрут, следуя которым конь также обходит все клетки шахматной доски. Это решение задачи было опубликовано в 1848 г. Вильямом Беверли. Маршрут Беверли был первым из «полумагических» 
маршрутов: сумма чисел, стоящих в любой «строке» и в любом «столбце», равна 260. Стать «магическим» ему мешает то обстоятельство, что сумма чисел, стоящих на главных диагоналях, отлична от 260. Если шахматную доску с маршрутом Беверли разрезать на четыре доски 4X4 (вдоль жирных линий, показанных на рис. 10), то каждая из «четвертушек» вновь будет полумагическим квадратом (с константой, одинаковой для всех четырех квадратов и равной 130). Если каждый из квадратов 4X4 в свою очередь «четвертовать», то сумма чисел, стоящих в клетках любого из квадратов 2X2, также будет равна 130.
Задача 9. Какое наименьшее количество ладей можно поставить на шахматной доске так, чтобы каждая не занятая ладьёй клетка находилась под боем хотя бы трёх из них?
Задача 10.На шахматной доске размером 8X8 отметили 17 клеток. Докажите, что из них можно выбрать две так, что коню потребуется не менее трёх ходов для попадания с одной из них на другую.
