ВОЛНОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УПРУГИХ СРЕДАХ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Основные объекты теоретической механики

• Материальная точка

• Дискретные системы материальных точек

• Абсолютно твердые тела

Основные объекты механики сплошных сред

• Газообразные среды

• Жидкие среды

• Твердые деформируемые тела

Характеристики сплошных сред

• Однородность (неоднородность) относительно некоторого свойства

• Изотропность (анизотропность) относительно некоторого свойства

Типы сил в механике сплошных сред

• Массовые силыдействуют на все элементы сплошной среды.

• Поверхностные силыдействуют на элемент поверхности,

ограничивающей тело, или ограничивающей внутренний элемент среды.

Основные разделы механики сплошных сред

• Теория упругости– изучение деформаций и возникающих при этом

напряжений в твердых телах.

• Гидродинамика– изучение законов движения жидкостей и газов.

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Закон Гука

Деформацияε – относительное изменение размеров тела:

Зависит только от приложенной силы .

Напряжениеσ – отношение силы F к площади сечения S:

Вне зависимости от длины и сечения стержня деформация пропорциональна напряжению.

= - закон Гука, где E – коэффициент пропорциональности, называемый модулем Юнга.

Изменение диаметра стержня

Относительное изменение диаметра стержня − ε_⊥ пропорционально

его продольной деформации: ε_⊥= −νε, где ν − коэффициент Пуассона.

Изменение объёма стержня

До: ; после ; .

, значит 0>ν>1/2

2.6. Дифференциальная форма закона Гука: ; деформация: .

Принцип суперпозиции

Если под действием некоторой силы Fi тело испытывает деформацию εi ,

то совокупное действие таких сил F=ΣFi приведет к деформации ε =Σεi

Пределы применимости теории упругости

Время, которое образец может выдержать под нагрузкой до разрушения, называется его долговечностью.

В большом диапазоне напряжений средняя долговечность тел τ хорошо описывается выражением где U и γ являются эмпирическими параметрами, зависящими от материала образца, Т – абсолютная температура, k – постоянная Больцмана.

ОДНОРОДНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ

Однородныминазываются такие деформации, при которых величина

постоянна по всему телу.

3.1 Гидростатическое давление(параллелепипед в жидкости):

, где – модуль всестороннего объемного сжатия.

3.2 Продольная деформация при запрещённых боковых смещениях:

а).(σ_x, ε_y=0, σ_z=0): ; , значит , значит , где E_эф – эффективный модуль Юнга .

б).(ε_y=0, ε_Z=0): ; , , значит , значит , где E’_эф – эффективный модуль Юнга .

3.3. Деформация сдвига (через деформацию растяжения):

Деформации сдвига возникают под действием касательных сил - сил,

направленных вдольповерхности упругого тела.

Брусок, по сторонам силы G(к углам). Большой брусок, силы из середин сторон (2 силы по диагонали в брусок, 2 силы из него). Сжимаемая диагональ: ; Растягиваемая диагональ: .

Закрепили нижнюю грань бруска. l – длина сторон, d – длина диагоналей, d’ – длина диагонали (растянутой), θ – угол сдвига. По Th косинусов, при cos(π/2+ θ)=sin(-θ)≈-θ: и d’=d+δd: .

Напряжение сдвига: ; Значит , где - модуль сдвига (E/3<μ<E/2).

Изменение площади: ; Значит и δV=LS’-LS≈0.

НЕОДНОРОДНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ

Неоднородныминазываются такие деформации, при которых величина не является постоянной по всему телу.

Деформация под действием массовых сил (стержень подвешен к потолку)

x – расстояние от потолка до уровня. , тогда , по закону Гука: или , значит , значит . Изменение сечения: ; ; , следовательно, . Подобрали, что . Для получения однородной деформации тело должно экспоненциально сужаться вниз от закреплённого конца.

Деформация кручения.

Вывод момента для кручения цилиндра:

(угол поворота стержня), (угол поворота сечения): . Применим формулы для деформации сдвига: , значит . M – крутиильный момент: , где G – сила: , следовательно, или , интегрируем: . Запишем как: –связь момент с углом, где крутильная жесткостьтолостостенной трубки; – крутильная жесткость сплошного цилиндра.Кручение – неоднородная деформация (внутренние слои испытывают меньшую деформацию, чем внешние).

Крутильные весы , сила для поворота на угол ϕ , где . Крутильный маятник: момент инерции шариков на концах: . Повернём на угло ϕ₀. Угловое ускорение . Уравнение гармонических колебаний ϕ= ϕ₀cos(ωt+α), где или в Герцах: .

Деформация изгиба.

Изгиб балки: и , следовательно, ; По закону Гука: . Момент действующий сбоку. , , , где I – момент инерции поперечного сечения балки, относительно поперечной оси, лежащей в нейтральном сечениии . Для круглого сечения радиуса R: dS=rdrdα, y=rsinα: . Для прямоугольника со сторонами 2a и 2b: dS=dxdy, S=4ab: .

Прогиб консольной балки

Момент силы: , , значит , причём , следовательно, , а значит . – стрела прогиба консольной балки.

Колебания нагруженной балки . Значит z= z₀cos(ωt+α), где

.

Перерезывающая сила.Рассмотри элемент балки dx. Уравнение моментов: M(x)-M(x+dx)-F_ndx=0, продефференцируем: , следовательно (показывает появление сдвиговых деформаций), где , т.е. они появляются при переменном радиусе кривизны R(x).

Устойчивость упругого равновесия:Бифуркация – два (или более) устойчивых положения(F=F_кр). ; M_x-Fz(x)=0. Решение: z(x)=Acoskx+Bsinkx, где . При z(0)=0, kl=πn: , при n=1

при n=1 критическая сила (стержень прямолинейный)

ВОЛНОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УПРУГИХ СРЕДАХ

Вывод волнового уравнения

из закона Гука; сила; ; 2й закон Н;

Решение этого уравнения может быть записано в виде суммы двух членов:

u(x,t) = f(x− t) + g(x+ t)

Звуковые волны в тонком стержне:

Характеристики звуковой волны, распространяющейся в бесконечном упругом стержне:

u(x,t)=B cos (kx- t+ )

такие волны называются гармоническими. Аргумент гармонической функции ϕ =kx − ωt + ϕ0называется фазой волны

Волны в тонких пластинах:

,

Волны в неограниченных упругих средах

Продольные волны - волны, связанные с деформациями растяжения-сдвига внеограниченных упругих средах, причем направление этих деформаций

совпадает с направлением распространения волны.

Закон Гука для продольных деформаций:

.

Поперечные волны - волны, при которых смещенияточек среды перпендикулярны направлению распространения волны

Скорости распространения упругих волн:

Продольные:

Стержень = ;E

Пластина = ;

Неограниченная среда = .

Поперечные:

Неограниченная среда ;

Поскольку , то

Крутильные волны в стержнях

Рассмотрим малый (длиной ∆x) фрагмент стержня радиуса R,

испытывающего крутильные возмущения. Угол поворота данного

фрагмента (деформация кручения) может быть описан выражением:

Вывод уравнения волнового движения

момент для стержня; – момент; связь с ускорением; –сам момент; ;

Волны изгиба в стержнях

Рассмотрим малый участок стержня, испытывающего малые

изгибные отклонения от равновесного положения z(x). На выделенный

фрагмент в поперечных сечениях действует перерезающая сила

Момент сил, возникающий при изгибе стержня, равен

Волновое уравнение дляизгибных волн в тонком стержне:

Скоростьраспространения волны есть

Скорость распространенияволны оказывается зависящей отчастоты: c = c(ω), это явлениеназывается дисперсией.

Собственные колебания стержней

Стационарные колебания с амплитудой, зависящей от координаты x

(стоячая волна):

где

Граничные условия:

1) Свободные концы: F(0) = F(l) = 0 .

2) Закрепленные концы: смещения на концах стержня равны нулю.

3) Один из концов закреплен, другой свободен.

Тензор деформации

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: