Сделай Сам Свою Работу на 5

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ





РЕФЕРАТ

 

«ТЕОРИЯ ГРАФОВ»

 

Выполнила:

Зудина Т.В.

 

Владимир 2001

 

 

СОДЕРЖАНИЕ:

 

Введение

1. Теоретическая часть

1.1 История возникновения теории графов

1.2Основные определения теории графов

1.3Основные теоремы теории графов

1.4Применение теории графов в школьном курсе математики

1.5Приложение теории графов в различных областях науки и техники

 


 

Теоретическая часть

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ТЕОРИИ ГРАФОВ.

 

Родоначальником теории графов принято считать математика Леонарда Эйлера (1707-1783). Историю возникновения этой теории можно проследить по переписке великого ученого. Вот перевод латинского текста, который взят из письма Эйлера к итальянскому математику и инженеру Маринони, отправленного из Петербурга 13 марта 1736 года

"Некогда мне была предложена задача об острове, расположенном в городе Кенигсберге и окруженном рекой, через которую перекинуто семь мостов. Спрашивается, может ли кто-нибудь непрерывно обойти их, проходя только однажды через каждый мост. И тут же мне было сообщено, что никто еще до сих пор не мог это проделать, но никто и не доказал, что это невозможно. Вопрос этот, хотя и банальный, показался мне, однако, достойным внимания тем, что для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра, ни комбинаторное искусство…



После долгих размышлений я нашел легкое правило, основанное на вполне убедительном доказательстве, с помощью которого можно во всех задачах такого рода тотчас же определить, может ли быть совершен такой обход через какое угодно число и как угодно расположенных мостов или не может. Кенигсбергские же мосты расположены так, на котором A обозначает остров, а B,CиD – части континента, отделенные друг от друга рукавами реки. Семь мостов обозначены буквами a, b, c, d, e, f, g ".

По поводу обнаруженного им способа решать задачи подобного рода Эйлер писал

"Это решение по своему характеру, по-видимому, имеет мало отношения к математике, и мне непонятно, почему следует скорее от математика ожидать этого решения, нежели от какого-нибудь другого человека, ибо это решение подкрепляется одним только рассуждением, и нет необходимости привлекать для нахождения этого решения какие-либо законы, свойственные математике. Итак, я не знаю, каким образом получается, что вопросы, имеющие совсем мало отношения к математике, скорее разрешается математиками, чем другими".



Так можно ли обойти Кенигсбергские мосты, проходя только один раз через каждый из этих мостов? Чтобы найти ответ, продолжим письмо Эйлера к Маринони:

"Вопрос состоит в том, чтобы определить, можно ли обойти все эти семь мостов, проходя через каждый только однажды, или нельзя. Мое правило приводит к следующему решению этого вопроса. Прежде всего, нужно смотреть, сколько есть участков, разделенных водой, – таких, у которых нет другого перехода с одного на другой, кроме как через мост. В данном примере таких участков четыре – A, B, C, D. Далее нужно различать, является ли число мостов, ведущих к этим отдельным участкам, четным или нечетным. Так, в нашем случае к участку A ведут пять мостов, а к остальным – по три моста, т. е. Число мостов, ведущих к отдельным участкам, нечетно, а этого одного уже достаточно для решения задачи. Когда это определено, применяем следующее правило: если бы число мостов, ведущих к каждому отдельному участку, было четным, то тогда обход, о котором идет речь, был бы возможен, и в то же время можно было бы начать этот обход с любого участка. Если же из этих чисел два были бы нечетные, ибо только одно быть нечетным не может, то и тогда мог бы совершиться переход, как это предписано, но только начало обхода непременно должно быть взято от одного из тех двух участков, к которым ведет нечетное число мостов. Если бы, наконец, было больше двух участков, к которым ведет нечетное число мостов, то тогда такое движение вообще невозможно… если можно было привести здесь другие, более серьезные задачи, этот метод мог бы принести еще большую пользу и им не следовало бы пренебрегать".



Обоснование вышеприведенного правила можно найти в письме Л. Эйлера к своему другу Элеру от 3 апреля того же года. Мы перескажем ниже отрывок из этого письма.

Математик писал, что переход возможен, если на участке азветвления реки имеется не более двух областей, в которые ведет нечетное число мостов. Для того, чтобы проще представить себе это, будем стирать на рисунке уже пройденные мосты. Легко проверить, что если мы начнем двигаться в cоответствии с правилами Эйлера, пересечем один мост и сотрем его, то на рисунке будет изображен участок, где опять имеется не более двух областей, в которые ведет нечетное число мостов, а при наличии областей с нечетным числом мостов мы будем располагаться в одной из них. Продолжая двигаться так далее, пройдем через все мосты по одному разу.

История с мостами города Кенигсберга имеет современное продолжение. Откроем, например, школьный учебник по математике для шестого класса. В нем в рубрике развития внимательности и сообразительности мы найдем задачу, имеющую непосредственное отношение к той, которую когда-то решал Эйлер.

Задача № 569. На озере находится семь островов, которые соединены между собой. На какой остров должен доставить путешественников катер, чтобы они могли пройти по каждому мосту и только один раз? Почему нельзя доставить путешественников на остров A?

Решение.Поскольку эта задача подобна задаче о Кенигсбергских мостах, то при ее решении мы также воспользуемся правилом Эйлера. В результате получим следующий ответ: катер должен доставить путешественников на остров E или F, чтобы они смогли пройти по каждому мосту один раз. Из того же правила Эйлера следует невозможность требуемого обхода, если он начнется с острова A.

В заключение отметим, что задача о Кенигсбергских мостах и подобные ей задачи вместе с совокупностью методов их исследования составляют очень важный в практическом отношении раздел математики, называемый теорией графов. Первая работа о графах принадлежала Л. Эйлеру и появилась в 1736 году.

 

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ

 

Теория графов, как было сказано выше, – дисциплина математическая, созданная усилиями математиков, поэтому ее изложение включает в себя и необходимые строгие определения. Итак, приступим к организованному введению основных понятий этой теории.

Определение 2. Графом называется совокупность конечного числа точек, называемых вершинами графа, и попарно соединяющих некоторые из этих вершин линий, называемых ребрами или дугами графа.

Это определение можно сформулировать иначе: графом называется непустое множество точек (вершин) и отрезков (ребер), оба конца которых принадлежат заданному множеству точек, в дальнейшем вершины графа мы будем обозначать латинскими буквами A, B, C, D. Иногда граф в целом будем обозначать одной заглавной буквой.

Определение 3.Вершины графа, которые не принадлежат ни одному ребру, называются изолированными.

Определение 4.Граф, состоящий только из изолированных вершин, называется нуль-графом.

Обозначение: O'– граф с вершинами, не имеющий ребер

Определение 5.Граф, в котором каждая пара вершин соединена ребром, называется полным.

Обозначение: U'граф, состоящий из n вершин и ребер, соединяющих всевозможные пары этих вершин. Такой граф можно представить как n–угольник, в котором проведены все диагонали

Определение 6.Степеньювершиныназывается число ребер, которым принадлежит вершина.

Обозначение: p(A)степень вершины A.

Определение 7.Граф, степени всех k вершин которого одинаковы, называется однороднымграфомстепениk.

Определение 8.Дополнениемданногографаназывается граф, состоящий из всех ребер и их концов, которые необходимо добавить к исходному графу, чтобы получить полный граф.

Определение 9.Граф, который можно представить на плоскости в таком виде, когда его ребра пересекаются только в вершинах, называется плоским.

Определение 10.Многоугольник плоского графа, не содержащий внутри себя никаких вершин или ребер графа, называют его гранью.

Понятия плоского графа и грани графа применяется при решении задач на "правильное" раскрашивание различных

Определение 11.Путемот AдоXназывается последовательность ребер, ведущая от A к X, такая, что каждые два соседних ребра имеют общую вершину, и никакое ребро не встречается более одного раза.

Определение 12.Цикломназывается путь, в котором совпадают начальная и конечная точка.

Определение 13.Простым цикломназывается цикл, не проходящий ни через одну из вершин графа более одного раза.

Определение 14.Длиной пути,проложенного на цикле,называется число ребер этого пути.

Определение 15.Две вершины A и Bв графе называются связными(несвязными), если в нем существует (не существует) путь, ведущий из A в B.

Определение 16.Граф называется связным, если каждые две его вершины связны; если же в графе найдется хотя бы одна пара несвязных вершин, то граф называется несвязным.

Определение 17.Деревомназывается связный граф, не содержащий циклов.

Трехмерной моделью графа-дерева служит, например, настоящее дерево с его замысловато разветвленной кроной; река и ее притоки также образуют дерево, но уже плоское – на поверхности земли.

Определение 18.Несвязный граф, состоящий исключительно из деревьев, называется лесом.

Определение 19.Дерево, все n вершин которого имеют номера от 1 до n, называют деревом с перенумерованными вершинами.

Итак, мы рассмотрели основные определения теории графов, без которых было бы невозможно доказательство теорем, а, следовательно и решение задач. Формулировки и доказательства ключевых теорем будут приведены ниже, в этом же параграфе объяснены базовые понятия теории.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.