Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
Занятие 5 (Фдз 6).
5.1. Определение собственного вектора и собственного значения линейного оператора, их геометрический смысл. Главные направления линейного оператора. Примеры нахождения собственных векторов и собственных значений линейного оператора.
5.1. Собственным вектором линейного оператора называется такой элемент , что , при этом число называется собственным числом линейного оператора . Нулевой элемент пространства исключается из множества собственных векторов по той причине, что и . Другими словами, элемент не выявляет каких-либо различий у различных линейных операторов.
Если - векторное пространство, то собственный вектор приобретает ясный геометрический смысл: - собственный вектор оператора тогда и только тогда, когда его образ параллелен вектору (т.к. ).
Если - собственный вектор оператора , то вектор при любом значении постоянной также является собственным вектором оператора с тем же собственным значением , которое отвечает вектору . Действительно,
.
Таким образом, собственный вектор с собственным значением оператора определяет в пространстве прямую, образованную векторами и называемую главным направлением оператора с собственным значением .
Одной из основных задач теории линейных операторов является задача по нахождении собственных значений, собственных значений и главных направлений заданного линейного оператора.
Пример 1. Найти собственные значения, собственные векторы, главные направления линейного оператора , действующего в линейном пространстве векторов на декартовой плоскости следующим образом: проектирует векторы на ось .
Решение.
Собственные векторы и отвечающие им собственные значения заданного линейного оператора легко определяются, исходя из геометрического смысла собственного вектора и геометрии действия оператора.
Рассмотрим единичные векторы на осях и соответственно. Эти векторы образуют базис пространства .
- собственный вектор оператора с собственным значением .
- собственный вектор оператора с собственным значением .
Главными направлениями оператора являются:
ось (с собственным значение ) и ось (с собственным значением ).
Пример 2. Найти собственные значения, собственные векторы, главные направления линейного оператора , действующего в линейном пространстве векторов на декартовой плоскости следующим образом: поворачивает каждый вектор на угол против часовой стрелки вокруг начала координат – точки .
Решение.
Собственные векторы у этого оператора есть только при двух значениях угла : и .
1) Если , то заданный оператор является тождественным отображением.
. Следовательно, любой ненулевой вектор плоскости является собственным вектором линейного оператора с собственным значением , и любая прямая, проходящая через начало координат, будет главным направлением оператора с собственным значением .
2) Если , то оператор осуществляет отображение по закону:
. Следовательно, любой ненулевой вектор плоскости является собственным вектором линейного оператора с собственным значением , и любая прямая, проходящая через начало координат, служит главным направлением оператора с собственным значением .
3) Если , то такой оператор поворота векторов не имеет ни одного собственного вектора. В этом случае, вектор не параллелен вектору , и значит, не существует числа такого, что .
Пример 3. Найти собственные значения, собственные векторы, главные направления линейного оператора , действующего в линейном пространстве векторов декартова пространства следующим образом: проектирует каждый вектор на плоскость .
Решение.
Также как и в примерах выше, собственные векторы и отвечающие им собственные значения заданного линейного оператора легко находятся из геометрического смысла собственного вектора.
1) Если вектор лежит на плоскости (или параллелен этой плоскости), то . Значит, любой такой вектор является собственным вектором линейного оператора , с собственным значением . Указанные векторы имеют координаты .
Соответственно, главными направлениями с собственным значением является множество всех прямых в плоскости , проходящих через начало координат.
2) Другими собственными векторами рассматриваемого оператора будут все векторы , параллельные оси . Для них , т.е. векторы - собственные векторы линейного оператора с собственным значением . Указанные векторы имеют координаты .
Соответственно, главным направлением со значением является ось .
Других собственных векторов, отличных от указанных выше, у оператора нет.
Пример 4. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , действующего в линейном пространстве векторов декартова пространства следующим образом: зеркально отражает каждый вектор пространства от плоскости .
Решение.
1) Любой вектор , направленный перпендикулярно плоскости , при зеркальном отражении от этой плоскости изменяет свое направление на противоположное, не меняя при этом своей длины. Т.е. . Следовательно, все такие векторы - собственные векторы с собственным значением . Из уравнения плоскости легко находится вектор , перпендикулярный этой плоскости. Т.к. параллелен , то , где . Таким образом, множество всех собственных векторов линейного оператора с собственным значением образуют векторы с координатами , где .
2) Теперь рассмотрим векторы , лежащие в (или параллельные) плоскости . Эти векторы при зеркальном отражении от указанной плоскости не меняются, т.е. . Значит векторы - собственные векторы линейного оператора с собственным значением .
Других собственных векторов у заданного линейного оператора нет.
Пример 5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , действующего в линейном пространстве векторов декартова пространства следующим образом: поворачивает каждый вектор на вокруг прямой , проходящей через начало координат .
Решение.
Рассмотрим сначала векторы , лежащие на заданной прямой. Эти векторы параллельны направляющему вектору , и значит, имеют координаты , где .
Под действием оператора векторы переходят в себя, т.е. .
Следовательно, векторы - собственные векторы линейного оператора с собственным значением .
Другими собственными векторами оператора будут векторы , перпендикулярные прямой . Под действием векторы переходят в векторы , т.е. .
Следовательно, векторы - собственные векторы линейного оператора с собственным значением .
Если обозначить координаты векторов через , то возможные значения этих координат найдутся из условия ортогональности векторов и , и будут представлять ненулевые решения уравнения .
Пример 6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , действующего в линейном пространстве векторов декартова пространства следующим образом: проектирует каждый вектор на прямую .
Решение.
Векторы , лежащие на прямой , являются собственными векторами оператора с собственным значением . Оператор не меняет эти векторы. .
Векторы , перпендикулярные прямой , проектируются в точку (т.е. нулевой вектор) на этой прямой. . Следовательно, векторы - собственные векторы линейного оператора с собственным значением .
Пример 7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , где , и оператор действует по правилу , где .
Решение.
Данный линейный оператор рассматривался в примере 4 занятия 4. Там установлено, что
.
Согласно определению собственного вектора линейного оператора ненулевая матрица будет собственной матрицей (вектором) оператора , если , т.е. когда .
Из 1-го и 4-го уравнений полученной системы видно, что , либо .
Рассмотрим первый случай: . Из уравнений системы выводим
, где .
Следовательно, собственными матрицами линейного оператора со значением являются все матрицы из ядра этого оператора.
Рассмотрим второй случай: . Теперь из уравнений системы выводим
. (*)
Здесь в свою очередь: либо ; либо .
1) Если , то из системы (*) находим: , где . Учитывая, что в рамках второго случая , заключаем: матрицы вида являются собственными матрицами линейного оператора с собственным значением .
2) Если же , то из системы (*) находим: . В результате получили нулевую матрицу , которая по определению не включается в множество собственных векторов линейного оператора .
Других собственных матриц у линейного оператора нет.
__________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Исходя из геометрии действия линейного оператора, найти собственные векторы и собственные значения следующих линейных операторов:
1.1. Оператора проектирования векторов на плоскость ;
1.2. Оператора отражения векторов от оси ;
1.3. Оператора поворота векторов на вокруг оси .
2. Используя определение собственного вектора и собственного значения оператора найти собственные векторы и собственные значения следующих линейных операторов.
2.1. , , .
2.2. , , .
2.3. , .
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|