Действия с линейными операторами. Образ, ядро, ранг, дефект линейного оператора.
Занятие 4 (Фдз 5).
4.1. Умножение линейного оператора на число, сложение линейных операторов, перемножение линейных операторов. Связь указанных действий с соответствующими операциями над матрицами линейных операторов.
4.2. Условие существования обратного отображения к линейному оператору, его свойства. Матрица обратного оператора, ее нахождение по матрице оператора.
4.3. Ядро и образ линейного оператора, их свойства. Ранг и дефект линейного оператора. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа, ранга, дефекта.
4.1. Пусть даны два линейных оператора , действующие в одном и том же конечномерном линейном пространстве размерности .
По определению.
1) При умножении линейного оператора на число получается линейный оператор , действующий по правилу: , где .
2) При сложении линейных операторов и получается линейный оператор , действующий по правилу: , где .
3) Произведение линейных операторов и также дает линейный оператор , действующий по правилу .
Аналогично определяется произведение : , где .
Отметим, что и (в общем случае).
Пусть - базис пространства и
- матрицы линейных операторов , в базисе .
Тогда матрицы операторов , , , в базисе находятся так:
- матрица оператора в базисе ;
- матрица оператора в базисе ;
- матрица оператора в базисе ;
- - матрица оператора в базисе .
Пример 1. Даны два линейных оператора и :
- оператор поворота векторов на декартовой плоскости (вокруг начала координат против часовой стрелки) на угол ;
- оператор проектирования векторов на ось .
Найти матрицы операторов в базисе , где - единичные векторы на осях .
Решение.
Сначала найдем матрицы операторов в базисе .
- первый столбец матрицы ,
второй столбец матрицы . Следовательно, .
- первый столбец матрицы ,
второй столбец матрицы . Следовательно, .
Обозначим - матрицы операторов в базисе .
Найдем эти матрицы с помощью матриц .
.
.
.
4.2. В случае, когда линейный оператор осуществляет взаимно однозначное отображение линейного пространства на себя, то существует обратный линейный оператор . Если - матрица оператора в базисе пространства , то матрица оператора в этом базисе равна . Следовательно, линейный оператор обратим (имеет обратный оператор ) тогда и только тогда, когда матрица оператора не вырождена (т.е. ).
Пример 2. Выяснить, какие из линейных операторов , примера 1 являются обратимыми?
Решение.
Матрица оператора (в базисе ) равна
. .
Следовательно, матрица не вырождена (отсюда сразу же вытекает, что в любом другом базисе матрица оператора также не вырождена). Оператор обратим, и матрица обратного оператора в базисе равна
.
Матрица оператора (в базисе ) равна
. .
Следовательно, матрица вырождена (отсюда сразу же вытекает, что в любом другом базисе матрица оператора также вырождена). Оператор не обратим, и обратного оператора не существует.
4.3. Ядром линейного оператора называется множество всех , для которых . Для ядра линейного оператора принято обозначение . Ядро не может быть пустым множеством, т.к. для любого линейного оператора и, значит, нулевой элемент линейного пространства всегда принадлежит множеству .
Образ линейного оператора и ядро этого оператора являются линейными подпространствами в пространстве .
Рангом линейного оператора называется размерность образа этого оператора. Дефектом линейного оператора называется размерность ядра этого оператора. Если , то
.
Если известна матрица линейного оператора в каком-нибудь базисе , то ранг этого оператора можно найти по рангу матрицы : .
Пример 3. Найти ядро, образ, а также ранг и дефект линейного оператора , где , и оператор действует по правилу
.
Решение.
. Базис пространства состоит из четырех многочленов. Например, многочлены , , , образуют базис .
Найдем образ оператора .
.
- линейная оболочка трех многочленов . Эти многочлены представляют полную линейно независимую систему в . Следовательно, - базис . Значит, - ранг оператора .
-дефект оператора .
Найдем ядро оператора . Ядро состоит из тех многочленов , для которых .
.
Многочлен тождественно равен нулю (т.е. для всех ) тогда и только тогда, когда коэффициенты при всех степенях равны нулю.
Следовательно, .
Таким образом, ядро образует множество всех постоянных многочленов.
- одномерное линейное пространство (его базисом служит ) . Этот результат подтверждает ранее найденное значение дефекта оператора.
Ранг оператора можно получить другим способом. Найдем матрицу оператора в базисе , , , пространства .
- первый столбец матрицы .
- второй столбец матрицы .
- третий столбец матрицы .
- четвертый столбец матрицы .
. Ранг этой матрицы равен трем. Следовательно, .
Пример 4. Найти образ, ядро, ранг и дефект линейного оператора , где , и оператор действует по правилу , где .
Решение.
Стандартным базисом пространства служит система матриц .
Найдем образ оператора .
, где - произвольное число (в силу произвольности чисел ). Следовательно,
- одномерная линейная оболочка с базисом .
- ранг , - дефект .
Найдем ядро оператора . Нулевым элементом пространства является нулевая матрица.
.
Общее решение полученной системы из одного уравнения с четырьмя неизвестными (если считать свободными неизвестными) записать в виде
, где .
- линейная оболочка с базисом .
Вычислим теперь ранг оператора по матрице этого оператора. Матрицу оператора проще всего найти в базисе пространства .
- первый столбец матрицы .
- второй столбец матрицы .
- третий столбец матрицы .
- четвертый столбец матрицы .
.
Матрица получена из матрицы так: ко 2-й строке матрицы прибавили 3-ю строку.
Ранги матриц и одинаковы. .
___________________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Даны два линейных оператора , действующие в пространстве .
- оператор поворота векторов плоскости против часовой стрелки вокруг начала координат на угол .
- оператор проектирования векторов плоскости на прямую .
Найти матрицы операторов в базисе . Указать, какие из операторов имеют обратный оператор?
2. Найти ядро, образ, ранг и дефект линейного оператора
, .
Допускает ли данный оператор обратный оператор ?
3. Найти ядро, образ, ранг и дефект линейного оператора ,
действующего в линейном пространстве .
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|