Линейные пространства. Замена базиса. Линейные системы. Критерий совместности системы (теорема Кронекера-Капелли).

Занятие 1 (Фдз 2).

1.1. Закон преобразования координат вектора при переходе к новому базису. Матрица перехода от старого базиса к новому базису.

1.2. Ранг матрицы. Критерий совместности линейной системы (теорема Кронекера-Капелли).

1.1. Пусть и - два базиса мерного линейного пространства .

- "старый" базис и - "новый" базис. Они связаны равенствами

которые в матричном виде записываются так: ,

где - невырожденная квадратная матрица ,

называемая матрицей перехода от "старого" базиса к "новому" базису . Столбцы матрицы - координаты векторов в базисе .

Пусть - координаты вектора в базисе и - координаты вектора в базисе , т.е. , .

Тогда координаты вектора в старом и новом базисах связаны равенствами:

или . (1)

Формулы (1) называются законом преобразования координат вектора при переходе к новому базису.

Пример 1. Даны два базиса и линейного пространства . Найти матрицу перехода от базиса к базису .

Решение.

первый столбец матрицы .

второй столбец матрицы .

Пример 2. Пусть и - два базиса трехмерного линейного пространства ,

- координаты вектора в базисе . Найти координаты вектора в базисе ,

Решение.

Сначала найдем матрицу перехода от базиса к базису .

- 1-й столбец , - 2-й столбец ,

- 3-й столбец . . .

Отличие определителя от нуля доказывает невырожденность матрицы (если бы оказалось, что , то следовало сделать такой вывод: не может быть базисом пространства и поставленную задачу решить нельзя).

Обозначим - координаты вектора в базисе . Согласно закону (6) преобразования координат находим,

Пример 3. Дано линейное пространство . Надо доказать, что и - базисы этого пространства и найти матрицу перехода от базиса к базису .

Решение.

Пространство имеет стандартный базис , поэтому . Для того, чтобы доказать, что и - базисы достаточно показать линейную независимость этих систем матриц. Предоставляем сделать это читателю.

Здесь же поступим иначе. Найдем разложения матриц и в базисе , из которых определим матрицы и , связывающие стандартный базис с заданными системами матрицами и :

, (2)

. (3)

Вычислим определители матриц , : . В силу того, что определители оказались не равны нулю, сразу можно сделать вывод: и - базисы пространства . Матрицу перехода от базиса к базису найдем, используя матричные равенства (2), (3).

Вычисление элементов матрицы предоставляем читателю.

1.2. Рассмотрим теперь линейную систему алгебраических уравнений.

, ( -неизвестные) (4)

Напомним, что система называется совместной, если у нее есть хотя бы одно решение. Если же у системы нет ни одного решения, то ее называют несовместной. В 1-м семестре совместность

(несовместность) системы устанавливалась в ходе ее решения методом Гаусса. Ответ на вопрос: совместна или нет заданная система дает также теорема Кронекера-Капелли. Система (4) совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы, т.е.

, где , .

Рангом матрицы называется наибольший порядок ненулевого определителя в этой матрице.Ранг матрицы не изменяется, если:

В матрице поменять местами две строки (два столбца).

Строку (столбец) умножить на число, отличное от нуля.

К строке (столбцу) прибавить другую строку (другой столбец), умноженную (умноженный) на некоторое число.

С помощью действий матрицу можно привести к треугольному виду, из которого легко выделяется ненулевой определитель максимального порядка и находится ранг матрицы.

В случае совместности системы она имеет только одно решение, когда , если же , то общее решение системы содержит бесконечно много решений и зависит от параметров.

Пример 4. Найти ранг матрицы

Решение.

С помощью действий приведем матрицу к треугольному виду

1. В матрице переставили местами 1-ю и 3-ю строки, получили матрицу .

2. В матрице : прибавили ко 2-й строке 1-ю строку, умноженную на число 2;

прибавили к 3-й строке 1-ю строку, умноженную на число ( );

прибавили к 4-й строке 1-ю строку, умноженную на число ( );

прибавили к 5-й строке 1-ю строку, умноженную на число ( ).

Получили матрицу

3. В матрице : прибавили 2-ю строку к 3-й строке;

прибавили 2-ю строку к 4-й строке. Получили матрицу .

4. В матрице прибавили к 5-й строке 4-ю строку, умноженную на число ( ). Получили .

5. В матрице сначала переставили местами 3-ю и 4-ю строки, затем переставили местами

3-й и 4-й столбцы. В результате получили матрицу .

Ранги матриц совпадают. Ранг матрицы равен трем, т.к. у этой матрицы есть определитель третьего порядка (это определитель на пересечении первых трех строк и первых трех столбцов), отличный от нуля:

а все определители четвертого и пятого порядка содержат нулевую строку, и поэтому равны нулю.

Следовательно, .

Пример 5. С помощью теоремы Кронекера-Капелли исследовать совместность системы

Решение.

Найдем одновременно ранги расширенной матрицы и матрицы данной системы. При этом следует иметь в виду, что последний столбец расширенной матрицы нельзя переставлять местами с другими столбцами. Заметим, что матрица совпадает с матрицей из примера 4. Поэтому, нахождение ранга в точности повторяет действия, выполненные при нахождении ранга .

. Последний столбец не переставлялся местами с другими столбцами, поэтому по матрице , исключая из рассмотрения последний столбец матрицы , находится ранг матрицы системы. . Итак, установлено, что . Следовательно, система совместна. У нее число неизвестных равно 5, и . Значит, общее решение системы содержит бесконечно много решений, зависящее от параметров.