Линейные пространства (повторение основных положений линейных пространств).

Занятие 0 (Фдз 1).

0.1. Повторение основных понятий и терминов, связанных с линейными пространствами (линейная зависимость, независимость системы векторов; базис и размерность линейного пространства; разложение вектора по базису; линейная оболочка системы векторов).

0.1. Вспомним основные определения, связанные с линейными пространствами.

Пусть - набор элементов (система векторов) из линейного пространства .

1) Система - линейно независимая система, если их линейная комбинация равна нулевому элементу только при тривиальном наборе чисел: .

Если же существует нетривиальный набор чисел , для которого , то система является линейно зависимой.

2) Если система является максимальной линейно независимой системой в линейном пространстве (т.е. присоединение к ней любого вектора приводит к тому, что система становится линейно зависимой), то система называется базисом пространства .

В этом случае любой вектор можно единственным образом представить линейной комбинацией на векторах базиса, т.е.

. (1)

Это равенство называется разложением вектора по базису , а набор чисел

- координатами вектора в базисе .

3) Число векторов в любом базисе линейного пространства всегда одно и то же и называется размерностью пространства .

4) Система называется полной системой в линейном пространстве , если любой вектор можно разложить по векторам по векторам , т.е. . Полная система может быть линейно зависимой системой.

Если же полная система является еще и линейно независимой, то такая система – базис пространства (второе определение базиса).

5) Множество всех векторов называется линейной оболочкой на векторах . Линейная оболочка является линейным подпространством в пространстве или совпадает с линейным пространством .

Перейдем к примерам.

Рассмотрим систему из линейного пространства .

Пример 1. Показать, что система линейно зависима.

Решение.

. (2)

Полученную линейную систему уравнений для неизвестных величин решим методом Гаусса, используя матрицу системы.

Здесь проведены следующие действия.

1) В матрице ко 2-й строке прибавлена 1-я строка, умноженная на 3, и из 3-й строки вычтена 1-я строка. В результате получена матрица .

2) В матрице поменяли местами 2-й и 4-й столбцы, т.е. переставили местами неизвестные и . В результате получили матрицу .

3) В матрице из 3-й строки вычли 2-ю строку, умноженную на (-2). В результате получили матрицу треугольного вида, которая приводит к следующей системе:

В этой системе (эквивалентной исходной системе (2)) - свободная неизвестная, а - базисные неизвестные. Положим , где - произвольное число. Из третьего, второго и первого уравнений системы последовательно находим:

Таким образом, общее решение системы (2) представимо в виде:

, где .

Отсюда сразу же выводится существование нетривиальных решений системы. Например, при получаем .

Следовательно, . Это доказывает линейную зависимость данной системы векторов .

Пример 2. Показать, что система - полная система в пространстве .

Решение.

(3)

В этой системе неизвестными являются , а - произвольные заданные числа. Решим систему (3) методом Гаусса, используя расширенную матрицу системы. Преобразования над матрицей полностью совпадают с преобразованиями матрицы из примера 1, проведенными при доказательстве линейной зависимости системы .

(4)

В полученной системе является свободной неизвестной, а - базисными неизвестными. Положим , где - произвольное число. Из третьего, второго и первого уравнений системы (4) последовательно находим

Таким образом, установлено, что любой вектор может быть представлен в виде , т.е. разложен по системе векторов . Значения коэффициентов разложения таковы:

, где . (5)

Следовательно, система - полная в пространстве . Заметим еще, что значения зависят не только от координат вектора , но и от параметра , который показывает, что существует бесконечно много различных разложений вектора по заданной системе . Проведенное решение доказывает также, что линейная оболочка на векторах совпадает со всем линейным пространством .

Пример 3. Выделить из системы подсистемы векторов, которые служат базисами пространства .

Решение.

Так как система векторов представляет стандартный базис пространства , то сразу можно сказать, что размерность пространства равна трем , и любой базис этого пространства состоит из трех линейно независимых векторов. Возьмем три первых вектора . Исследуем их линейную зависимость (независимость).

Главный определитель полученной линейной однородной системы (состоящий из координат векторов , записанных столбцами) отличен от нуля. Действительно,

Согласно правилу Крамера, система имеет только одно решение. Это решение

. Следовательно, система векторов линейно независима. С учетом выводов в начале решения, заключаем: подсистема из системы является базисом пространства .

Совершенно аналогично доказывается, что тройки векторов: 1) ;

2) ; 3) тоже будут базисами пространства . Для этого достаточно проверить, что определители из координат векторов указанных троек отличны от нуля. Приведем эти определители и их значения.