Решение систем линейных алгебраических уравнений методом исключения Гаусса

Методы вычислительной математики

Табулирование функций

Данная задача широко используется во многих дисциплинах. Обычно функции, описывающие какой-либо процесс, весьма громоздки и создание таблиц их значений требует большого объема вычислений.

Рассмотрим два случая табулирования функции:

1. С постоянным шагом изменения аргументов.

2. С произвольным набором значений аргумента.

Алгоритм реализуется путем организации какого-либо цикла.

Пример 1. Вычислить значения функции

при

Текст программы:

format short

clc

a=1.1;

disp(['Таблица значений функции'])

%Задается начальное значение x, шаг dx, конечное значение x

x=1; dx=0.5;

while x<=4+dx

if x<=2

y=3*x-3.87*sin(a)-log(2+x);

else

y=14-exp(x);

end

disp([x,y])

x=x+dx;

end

Результаты вычислений:

Таблица значений функции

1.0000 -1.5476

1.5000 -0.2017

2.0000 1.1647

2.5000 1.8175

3.0000 -6.0855

3.5000 -19.1155

4.0000 -40.5982

4.5000 -76.0171

Пример 2. Вычислить и вывести на экран значения функции

При

Цикл организуется для одномерного массива.

Текст программы:

format short

clc

a=1.35;b=0.98;

x(1)=12.8; x(2)=23.4; x(3)=27.2;

x(4)=17.8; x(5)=16.3; x(6)=14.9;

disp(['Таблица значений функции'])

for i=1:6

y(i)=(1+sin(b^2+x(i)^2)^2)/(a^2+x(i)^2)^(1/3);

disp([x(i) y(i)])

end

Результаты вычислений:

Таблица значений функции

12.8000 0.3609

23.4000 0.2327

27.2000 0.1473

17.8000 0.1800

16.3000 0.1771

14.9000 0.1658

Определение корней полинома

В MATLAB существует специальная функция которая возвращает вектор элементов, являющихся корнями заданного (в виде вектор - строки коэффициентов) полинома .

Если в полиноме отсутствует степень при неизвестном, то в векторе значений коэффициентов ставится 0.

Пример. Найти корни полинома:

Построим график функции

>> x=-2:0.1:1;

>> y=4*x.^4-7*x.^2+11*x-1 ;

>> plot(x,y)

>> grid on

Решение

>> p=[4 0 -7 11 -1];

>> roots(p)

ans =

-1.8253

0.8642 + 0.8169i

0.8642 - 0.8169i

0.0968

Отсюда видно, что эта функция определяет как вещественные, так и комплексные корни полиномов.

Исследование функций

Ряд функций системы MATLAB предназначен для работы с функциями. Под функциями понимаются как встроенные функции, например или так и функции пользователя, например задаваемые как M- файлы функции.

Может использоваться также класс анонимных функций, задаваемых с помощью символа @, например:

>> fe=@exp;

Такие функции вычисляются с помощью функции :

>> fe=@exp;

>> feval(fe,1.0)

ans =

2.7183

Методы отделения корней уравнений с одной переменной

Пример.Отделить корни трансцендентного уравнения графически.

Решение.

Создадим файл Func.m , содержащий описание функции .

Файл Func.m.

function z=Func(x)

z=x.^2-sin(x)-1;

end

Построим график функции в промежутке [-2; 2] выполнив в командном окне пакета MATLAB следующую последовательность операторов:

>> x=-2:0.1:2;

>> plot(x, Func(x)); grid on

Из рисунка видно, что функция имеет два корня: и .

Решение уравнений, нахождение максимума или минимума функции одной или нескольких переменных осуществляется вызовом встроенных функций MatLab. Число аргументов встроенных функций может быть различным, в зависимости от требуемого вида результата.

Для работы с ними необходимо предварительно написать собственную файл-функцию для вычисления исследуемой функции.

Решение уравнений

MATLAB можно использовать для решения алгебраических и трансцендентных уравнений и систем уравнений, заданных в виде массива символьных выражений.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений в среде MATLAB осуществляется с помощью следующих встроенных функций: ,

Решение уравнений при помощи функций , .

Функция предназначена для решения систем нелинейных уравнений вида , где

— вектор или матрица неизвестных,

— функция, значением которой является вектор или матрица,

- начальное значение или интервал поиска решения.

Пример:

>> fsolve('0.25*x+sin(x)-1',0:10 )

ans =

Columns 1 through 6

0.8905 0.8905 2.8500 2.8500 2.8500 5.8128

Columns 7 through 11

5.8128 5.8128 5.8128 10.7429 10.7429

Функция представляется в следующем виде:

где:

– решаемое уравнение, записанное в одиночных кавычках;

– искомое неизвестное.

Функция возвращает единственное символьное выражение, если уравнение (система уравнений) имеет единственное решение и вектор решений в противном случае. Если уравнение содержит периодические функции и может, поэтому иметь бесконечное число решение, функция ограничивается тем, что возвращает корни за один период в окрестности нуля.

Пример. Пусть необходимо решить следующее уравнение: .

Программа решения уравнения имеет вид:

>> solve('x^2-sin(x)-1=0')

После нажатия клавиши <Enter> получим следующее решение:

>> solve('x^2-sin(x)-1=0')

ans =

matrix([[-0.63673265080528201088799090383828]])

Решение уравнений при помощи функции .

Функция имеет следующую реализацию:

где:

– искомое неизвестное;

– значение невязки;

– переменная, знак которой свидетельствует о наличии корня на данном интервале ( например, – корень существует);

– содержит три поля с именами:

(количество итераций),

(количество обращений к функции ), и

(наименование алгоритма, использованного для нахождения корня;

– решаемое уравнение, записанное в одиночных кавычках;

– начальное приближение или интервал поиска решения.

ПримерНеобходимо найти корни уравнения ,если известно, что корни находятся в промежутках [-1, 0] и [1, 2].

Решение:

>> [x,f,e_flag,inform]=fzero('x^2-sin(x)-1',[-1, 0])

x =

-0.636732650805282

f =

e_flag =

inform =

intervaliterations: 0

iterations: 6

funcCount: 8

algorithm: 'bisection, interpolation'

message: 'Zero found in the interval [-1, 0]'

>> [x,f,e_flag,inform]=fzero('x^2-sin(x)-1',[1, 2])

x =

1.409624004002596

f =

-1.110223024625157e-016

e_flag =

inform =

intervaliterations: 0

iterations: 8

funcCount: 10

algorithm: 'bisection, interpolation'

message: 'Zero found in the interval [1, 2]'

>> x=fzero('x^2-sin(x)-1',[1, 2])

x =

1.409624004002596

Возникает вопрос, сколько в ответе точных значащих цифр, т. е. с какой точностью найдено решение. Использование с двумя аргументами приводит к нахождению корня с точностью где — встроенная функция MatLab, задающая точность вычислений, значение которой можно посмотреть так же, как и значения других переменных:

>> eps

ans =

2.220446049250313e-016

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом исключения Гаусса

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений с неизвестными:

Система уравнений в матричной форме представляется следующим образом:

,

где – квадратная матрица коэффициентов, размером строк и столбцов;

– вектор-столбец неизвестных;

– вектор-столбец правых частей.

Систему уравнений можно решить различными методами.

Один из наиболее простых и эффективных методов является метод исключения Гаусса и его модификации. Алгоритм метода основан на приведении матрицы к треугольному виду (прямой ход) и последовательном вычислении неизвестных (обратный ход). Эти процедуры можно выполнять над невыраженными матрицами, в противном случае метод Гаусса неприменим.

В MATLAB имеется обширный арсенал методов решения систем уравнений методом исключения Гаусса.

Для этого применяются следующие операторы

	− правое деление;
	− левое деление;
	− возведение в степень –1
	− обращение матрицы

Выражения

дают решения ряда систем линейных уравнений ,

где – матрица размером , – матрица размером .

Для решения систем линейных алгебраических уравнений в системе MATLAB существует две уникальные по своему назначению операции:

\ -левое деление матриц;

/- правое деление матриц.

Операция левого деления матриц \ используется при решении уравнений вида

,

где – заданная квадратная матрица коэффициентов уравнений;

– вектор- столбец свободных членов;

– вектор-столбец искомых переменных.

Для решения этого уравнения достаточно выполнить следующую операцию:

Операция левого матричного деления эквивалентна следующей операции:

Пример.

Необходимо решить следующую систему уравнений:

Матрица коэффициентов A и вектор-столбец свободных членов в этой системе уравнений имеют следующий вид:

format short

clc

A=[3 4 6; 2 5 7; 1 8 3];

B=[-5;7;11];

y=A\B

inv(A)*B

Решение

y =

-8.2075

1.5660

2.2264

ans =

-8.2075

1.5660

2.2264

Здесь операция была выполнена для проверки правильности решения.

Операция правого деления матриц позволяет решать системы уравнений вида

где – вектор-строка неизвестных переменных;

– заданная квадратная матрица коэффициентов;

– вектор-строка свободных членов.

Для решения такого уравнения достаточно выполнить следующую операцию:

или эквивалентную ей операцию:

Пример. Решить систему уравнений:

Решение

format short

clc

A=[3 2 1; 4 5 8; 6 7 3];

B=[-5 7 11];

y=B/A

B*inv(A)

y =

-8.2075 1.5660 2.2264

ans =

-8.2075 1.5660 2.2264 -8.2075 1.5660 2.2264

Рассмотрим решение систем линейных уравнений с помощью встроенной функции

где:

– i-е уравнение системы, i=1, 2, …, n;

– i-е неизвестное, i=1, 2, …, n.

Перед функцией необходимо с помощью функции определить символьные переменные.

Пример. Пусть необходимо решить следующую систему уравнений:

Программа решения системы уравнений имеет вид:

>> syms x1 x2 x3;

>> Y=solve('1.23*x1-3.25*x2-8.69*x3=10.33', '7.03*x1+4.81*x2+0.27*x3=-6.43', '4.49*x1-7.55*x2+12.51*x3=41.53')

После нажатия клавиши <Enter> получим ответ в следующем виде:

Y =

x1: [1x1 sym]

x2: [1x1 sym]

x3: [1x1 sym]

Программа задачу решила, но не выдала значения неизвестных , , . Для их получения необходимо воспользоваться командой , где – имя неизвестного. В нашем случае решение будет иметь вид:

>> Y.x1

ans =

1.6467696870844978837212332256586

>> Y.x2

ans =

-3.7690989344414828576791743237764

>> Y.x3

ans =

.45398138688708304769095896660916

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: