Сделай Сам Свою Работу на 5

Представление четных совершенных чисел.





ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

Число и сумма делителей данного числа

Под числовой функцией f(x) понимают функцию, определенную для любого натурального аргумента. С некоторыми числовыми функциями мы уже познакомились: с функцией Эйлера, а также с функциями «целая часть от х» и «дробная часть от х». В этой главе продолжим изучение числовых функций.

Формула для числа делителей данного числа

Обозначим число натуральных делителей натурального числа n (включая тривиальные делители 1 и n через τ (x)). Если в каноническом разложении n имеет вид

где простые делители n, то все делители d этого числа суть все числа вида

где

Чтобы найти число делителей, необходимо подсчитать число возможных различных комбинаций для отвечающих условиям , так как различным комбинациям значений соответствуют различные числа d. Поскольку независимо

друг от друга принимают соответственно α1 + 1, α2 + 1, ..., αn + 1 различных значений, общее число таких комбинаций будет

Таким образом, получаем:

Пример. Пусть я = 504 = 23-32-7; тогда τ(504)= = 4-3-2 = 24.

Формула , как и ее вывод, показывает, что τ(x)не зависит от простых множителей р1, p2...рn канонического разложения числа n, а только от их показателей.



Формула для суммы делителей данного числа

Пусть S(n)—сумма всех натуральных делителей d натурального числа n имеющего каноническое разложение п. 1.

Легко понять, что

так как слагаемые произведения совпадают с делителями числа n .

Суммируя каждый сомножитель по формуле для суммы членов геометрической прогрессии, получаем

 

Совершенные числа. Специальные простые числа

Определение совершенных и дружественных чисел

Делители числа n (имеются в виду натуральные делители), за исключением самого числа, называются его собственными делителями; их сумма равна S(n)—n.

Если для двух чисел a, b сумма собственных делителей каждого из них равна другому, то такие числа называются дружественными; для них S(a) - a=b, S(b)-b =a, откуда S(a) = S(b) = a+b.

Натуральное число называется совершенным, если оно равно сумме своих собственных делителей (или если оно дружественно самому себе), т. е. удовлетворяет условию

S(n) — n = n, или S(n)=2n.



Определения Совершенных и дружественных Чисел имеются уже в «Началах» Евклида, они упоминаются и Платоном. Греки видели в них некую совершенную гармонию и приписывали им мистический характер. Древним грекам была известна пара дружественных чисел 220 и 284 и четыре совершенных числа: 6, 28, 495, 8128.

Представление четных совершенных чисел.

О нечетных совершенных числах Евклид нашел достаточное условие для четных совершенных чисел.

Теорема Евклида: если число имеет вид n= , где натуральное k > 1 и при этом кисло простое, то n совершенно.

В самом деле, для такого n по формуле для суммы делителей данного числа находим

Среди чисел k < 7 условие теоремы, чтобы 2k — 1 было простым числом, выполняется для n = 2, 3, 5 и 7. Мы получаем простые числа 3, 7, 31 и 127, которым соответствуют упомянутые выше четыре совершенных числа.

После Евклида дальнейший крупный успех в исследовании совершенных чисел был достигнут только через 2 тысячи лет Эйлером. Эйлер доказал, что достаточное условие Евклида для четных совершенных чисел является для них также необходимым.

Теорема Эйлера: четные совершенные числа имеют вид n = , где натуральное k>1и 2k — 1 — число простое.

Теоремы Евклида и Эйлера показывают, что формулой

где k>1 и 2k — 1 — простое число, представимы все четные совершенные числа.

В заключение отметим, что в 50-е годы нашего столетия сведения о совершенных числах обогатились новыми интересными данными. Найдены, например, верхние оценки плотностей числа совершенных чисел:

где V(x) — число совершенных чисел <х. Что касается нечетных совершенных чисел, то до сих пор неизвестно, существуют ли такие или нет. Во всяком случае твердо установлено, что если нечетные совершенные числа и существуют, то они чрезвычайно велики; ни одно из них не может быть, например, меньше е^52729. Известно также, что они могут быть только формы , где простое p=4m+1, (N,p) = 1, и не могут иметь менее 2800 различных простых множителей. Один из первых результатов о простых делителях совершенных чисел получен советским математиком И. С. Градштейном в 1925 г.



Простые числа Мерсенна; их наибольшее известноезначение

До сих пор неизвестно, имеется ли бесконечно много четных совершенных чисел, так как неизвестно, существует ли бесконечно много простых чисел вида Необходимым условием простоты числа такого вида является простота его показателя k.

В самом деле, если k = k1*k2 — число составное, то можно 2k — 1 = (2k1)k2— 1 разложить на нетривиальные множители (т. е. такие, которые отличны от самого числа и от единицы), из которых один будет 2k1— 1.

Полученное условие не является однако достаточным. Так, например, при k = 11 имеем 2k—1=2047= = 23-89.

О простых числах вида (где р — простое число) французский математик Мерсенн вел переписку с Ферма; эти числа получили название простых чисел Мерсенна.

До Эйлера было известно 7 совершенных чисел, соответствующих простым числам Мерсенна при p = 2, 3, 5, 7, 13, 17 и 19, Эйлер доказал, что 2^31 — 1 есть простое число.

Число Эйлера считалось наибольшим известным простым числом до 1883 г., когда талантливый русский вычислитель И. М. Первушин 1827—1900 доказал, что 2^61 — 1 есть простое число. К настоящему времени установлена еще простота чисел вида 2Р — 1 для показателей: p = 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213.

Начиная с показателя р = 521, простота чисел Мр была установлена при помощи электронных вычислительных машин A952). Простота числа 2^11213—1 (имеет 3375 цифр) была установлена в 1963 г. Это вообще наибольшее из известных до 1963 г. простое число. Основой для указанных вычислений является критерий простоты чисел Мр, найденный в основном уже в 1878 г. французским математиком Э. Люка.

Простые числа Ферма

Ферма высказал предположение, что все числа вида 2^k + 1, где k = 2^n являются простыми. Для k > 0 условие k = 2^n является необходимой предпосылкой, так как в противном случае, когда k = k1*k2 содержит нечетный множитель

очевидно, делится на 2^k2 + 1.

Интересно отметить, что простые числа Ферма играют важную роль в геометрии. А именно, Гаусс доказал, что правильный p-угольник для простого p>2 можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда р — простое число Ферма.

Однако указанное условие не является достаточным: в то время как для n = 0, 1, 2, 3, 4 получаются простые числа, так называемые простые числа Ферма, 3, 5, 17, 257, 65537, для n > 4 до сих пор не найдено ни одного простого числа 1. Неизвестно также, обрывается ли последовательность простых чисел Ферма или их существует бесконечно много.

До 1952 г. было известно, что числа Ферма Fn = 2^2^n + 1 являются составными для показателей n = 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 18, 23, 36, 38, 73. (Для n —5 этот факт впервые доказал Эйлер, для n =12, 23 — И. М. Первушин.)

При помощи электронных вычислительных машин до 1964 г. установлено, что и для показателей 10, 13, 14, 15, 16, 19, 21, 25, 26, 27, 30, 32, 39, 42, 52, 55, 58, 63, 77, 81, 117, 125, 144, 150, 207, 226, 228,260, 267, 268, 284, 316, 452, 1945 получаются составные числа.

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.