|
Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона.
Произведено 500 измерений боковой ошибки наводки при стрельбе с самолета по наземной цели. Результаты измерений (в тысячных долях радиана) сведены в статистический ряд:
| -4;-3
| -3;-2
| -2;-1
| -1;0
| 0;1
| 1;2
| 2;3
| 3;4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Требуется:
1. Вычислить относительные частоты боковой ошибки .
2. Выровнять это распределение с помощью нормального закона
3. Построить сравнительные диаграммы для функций теоретического и экспериментального распределений .
4. Построить сравнительные диаграммы для функций теоретического и экспериментального распределений .
5. Проверить согласованность теоретического и статистического законов распределения по критерию Пирсона.
Указания:
Нормальный закон зависит от двух параметров . Подберем эти параметры так, чтобы сохранить первые два момента (математическое ожидание и дисперсию статистического распределения).
1. Вычислим сначала относительные частоты боковой ошибки по формуле .
2. Вычислим приближенно статистическое среднее ошибки наводки, причем за представителя каждого разряда примем его середину.
3. Для определения дисперсии вычислим сначала второй начальный момент по формуле .
4. Вычислим приближенно дисперсию по формуле и среднеквадратичное отклонение по формуле .
Результаты расчетов сведем в таблицу.
Число опытов
|
|
|
|
|
|
|
|
| | Начало разряда
| -4
| -3
| -2
| -1
|
|
|
|
| Конец разряда
| -3
| -2
| -1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0,012
| 0,050
| 0,144
| 0,266
| 0,240
| 0,176
| 0,092
| 0,020
|
| -3,500
| -2,500
| -1,500
| -0,500
| 0,500
| 1,500
| 2,500
| 3,500
|
| -0,042
| -0,125
| -0,216
| -0,133
| 0,120
| 0,264
| 0,230
| 0,070
|
| 12,250
| 6,250
| 2,250
| 0,250
| 0,250
| 2,250
| 6,250
| 12,250
|
| 0,147
| 0,313
| 0,324
| 0,067
| 0,060
| 0,396
| 0,575
| 0,245
|
| 0,168
|
|
|
|
|
|
|
| |
| 2,126
|
|
|
|
|
|
|
| |
| 2,098
|
|
|
|
|
|
|
| |
| 1,448
|
|
|
|
|
|
|
| |
Выберем параметры нормального закона так, чтобы выполнялись условия . Таким образом .
Построим теперь сравнительные диаграммы функций распределения и . Для этого вычислим значения законов теоретических и экспериментальных распределений в границах разрядов и построим таблицу:
| -4
| -3
| -2
| -1
|
|
|
|
|
| f*(x)
| 0,012
| 0,050
| 0,144
| 0,266
| 0,240
| 0,176
| 0,092
| 0,020
| 0,000
| F*(x)
| 0,012
| 0,062
| 0,206
| 0,472
| 0,712
| 0,888
| 0,980
| 1,000
| 1,000
| f(x)
| 0,004
| 0,025
| 0,090
| 0,199
| 0,274
| 0,234
| 0,124
| 0,041
| 0,008
| F(x)
| 0,002
| 0,014
| 0,067
| 0,210
| 0,454
| 0,717
| 0,897
| 0,975
| 0,996
| Для вычисления значений функции следует использовать встроенную функцию Excel НОРМРАСП(x;0,168;1,448;ИСТИНА), а для вычисления значений функции – НОРМРАСП(x;0,168;1,448;ЛОЖЬ).
В качестве значений функции следует выбирать частоты , так как все длины разрядов равны единице. Значения функции вычисляются по формуле .
Диаграммы с графиками этих функций должна иметь вид:
Проверим теперь правдоподобие гипотезы о виде закона распределения по критерию согласия Пирсона. Заданное статистическое распределение аппроксимировано теоретической кривой.
Между нею и статистическим распределением всегда есть определенные расхождения. Эти расхождения являются следствием либо ограниченного числа наблюдений, либо неудачным выбором вида теоретической кривой.
Для оценки согласованности теоретического и статистического распределений вводят некоторую положительную величину , характеризующую степень расхождения теории и эксперимента.
Предполагается, что закон распределения известен, а в результате серии опытов выяснилось, что приняла некоторое значение u. Очевидно чем меньше величина, u тем вероятнее гипотеза о согласованности и наоборот.
Поэтому количественной оценкой правдоподобия гипотезы служит вероятность события , а именно:
Ø если эта вероятность мала – , то гипотезу следует отвергнуть как мало правдоподобную (в этом случае вероятность события велика и расхождение u слишком велико);
Ø если эта вероятность – , следует признать, что экспериментальные данные не противоречат гипотезе (в этом случае вероятность события мала и расхождение u достаточно мало);
Ø если же эта вероятность значительна – , следует признать, что экспериментальные данные очень сильно согласуются с гипотезой и следует проверить, нет ли подтасовки данных.
Пирсон показал, что мера расхождения имеет вид или . Распределение зависит от параметра r – числа степеней свободы распределения.
Число , где s число независимых условий (связей), наложенных на частоты . В нашем случае их три
Таким образом схема применения критерия Пирсона имеет вид:
1) Определяется мера расхождения .
2) Определяется число степеней свободы r = k – s
3) По r и определяется вероятность .
Если эта вероятность мала, гипотеза отбрасывается как неправдоподобная. Если эта вероятность относительно велика, гипотезу можно признать не противоречащей опытным данным.
Проверим согласованность теоретического и статистического законов распределения:
1. Находим вероятности попадания в разряды по формуле
2.
3. Составляем сравнительную таблицу чисел попаданий в разряды и соответствующих значений .
4. Вычисляем значение меры расхождения .
5. Определяем число степеней свободы: .
6. Результаты вычислений вносим в таблицу.
Число опытов
|
|
|
|
|
|
|
|
| | Начало разряда
| -4
| -3
| -2
| -1
|
|
|
|
| Конец разряда
| -3
| -2
| -1
|
|
|
|
|
| Число попаданий
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0,012
| 0,053
| 0,143
| 0,244
| 0,263
| 0,180
| 0,078
| 0,021
|
| 6,171
| 26,413
| 71,387
| 121,939
| 131,698
| 89,942
| 38,828
| 10,588
|
| 0,005
| 0,076
| 0,005
| 1,003
| 1,039
| 0,042
| 1,325
| 0,033
|
| 3,527
|
|
|
|
|
|
|
| | Вероятность
| 0,619
|
|
|
|
|
|
|
| | Гипотеза правдоподобна
|
|
|
|
|
|
|
|
| | Примечания:
1. Функция – встроена в Excel под именем НОРМСТРАСП.
2. Для определения искомой вероятности следует воспользоваться встроенной функцией Excel ХИ2РАСП( ; r).
Расчет вероятности по таблице дает = 0,619. Эта вероятность малой не является; поэтому гипотезу о том, что величина распределена по нормальному закону, можно считать правдоподобной.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|