Закон распределения дискретной случайной величины

Пусть X – ДСВ, принимающая в результате испытаний следующие возможные значения: x₁, x₂, ..., x_n. Появление тех или иных значений случайной величины можно рассматривать как случайные события, которым, в общем случае, соответствуют различные вероятности. Обозначим вероятности этих событий через p с соответствующими индексами:

P(X=x₁)=p₁, P(X=x₂)=p₂, ..., P(X=x_n)=p_n.

Поскольку в результате испытания случайная величина X примет одно и только одно из перечисленных значений, т.е. произойдет одно из совместных событий, образующих полную группу, то сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины X равна единице:

.

Если же множество значений ДСВ образует бесконечное множество, то ряд сходится к единице. Определив все возможные значения случайной величины X и правило, по которому каждому событию X=x_i ставится в соответствие вероятность p_i, можно получить полное представление о случайной величине.

Соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями ДСВ и вероятностями этих значений, называют законом распределения ДСВ.

Закон распределения можно задать так же, как и функцию одной переменной в математическом анализе, используя табличный, графический и аналитический способы задания. Таблица, содержащая возможные значения ДСВ и соответствующие вероятности, является простейшей и наиболее распространенной формой задания закона распределения ДСВ и часто называется рядом распределения:

При графическом изображении закона распределения по оси абсцисс откладываю возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений. Соединив точки (x_i,p_i) отрезками, получим ломаную линию, которая называется многоугольником распределения. Аналитический способ задания закона распределения ДСВ применяется довольно редко.

Пример 4.1. Монета брошена 3 раза. Случайная величина X – число появлений "орла". Составить ряд распределения, построить многоугольник распределения и найти функцию распределения случайной величины X.

Решение. Вероятность появления герба в каждом испытании равна p=1/2, а противоположного события – q=1/2. Возможные значения случайной величины X: x₀=0, x₁=1, x₂=2, x₃=3. По формуле Бернулли найдем вероятности этих возможных значений:

,

,

,

.

Таким образом, закон распределения случайной величины X можно записать в виде следующего ряда распределения:

Определим теперь, как выглядит функция распределения. Если задан закон распределения ДСВ, то функция распределения будет иметь вид

.

Действительно, пусть аргумент x принял значение x_i < x £ x_i+1. Тогда левее числа x на числовой оси окажутся только те значения случайной величины, которые имеют индекс 1,2, ..., i. Поэтому событие X<x наступит, если произойдет любое, неважно какое, из событий X=x₁, X=x₂, ..., X=x_i. Так как эти события несовместны, то по теоремы сложения вероятностей получим

P(X<x) = P(X=x₁) + P(X=x₂) + ... + P(X=x_i) = .

Построим теперь функцию распределения для рассматриваемого примера.

Если x£0, то левее этого значения нет ни одного возможного значения случайной величины X. Следовательно, F(x)=0.

Если 0<x£1, то левее этого значения есть одно возможное значение случайной величины: X=0. Следовательно, F(x)=P(X=0)= =p₀=1/8.

Если 1<x£2, то F(x)=p₀+p₁=1/8+3/8=1/2.

Если 2<x£3, то F(x)=p₀+p₁+p₂=1/8+3/8+3/8=7/8.

Если x>3, то F(x)=1.

График функции F(x) будет иметь вид

4.4. Плотность распределения непрерывной
случайной величины

Дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей, т.е. законом распределения. Однако такой способ неприменим для непрерывных случайных величин. Это связано с тем, что вероятность любого отдельного значения НСВ равна нулю. Действительно, воспользуемся свойством 2 функции распределения и устремим a к b. В результате получим

.

.

Таким образом, в случае НСВ P(X=a)=0.

На первый взгляд, этот результат кажется парадоксальным, т.к. события, вероятности которых равны нулю, рассматриваются как невозможные. В действительности это означает, что вероятность того, что НСВ примет какое-либо конкретное значение, является бесконечно малой величиной. Таким образом, нет смысла рассматривать вероятность принятия НСВ отдельного значения, а имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее значений в какой-либо интервал.

Пусть имеется НСВ X с функцией распределения F(x), относительно которой будем предполагать, что она непрерывна и дифференцируема в некотором интервале. Рассмотрим вероятность попадания значения случайной величины в интервал (x, x+Dx). Эту вероятность несложно вычислить, используя свойство 2 для функции F(x):

P(x<X<x+Dx) = F(x+Dx)–F(x),

т.е. равна приращению функции F(x) на этом интервале. Определим теперь вероятность, которая приходится на единицу длины рассматриваемого интервала. Для этого разделим обе части последнего равенства на длину интервала Dx. В результате получим

.

Перейдем в полученном равенстве к пределу при Dx®0. В результате получим производную функции F(x), которая существует, поскольку предполагалось, что F(x) – дифференцируема:

.

Полученная функция называется плотностью распределения:

f(x) = F¢(x) (4.2)

В некотором смысле плотность распределения f(x) "более удобная", чем функция F(x), поскольку позволяет в явной форме судить о характере распределения вероятностей случайной величины в небольшой окрестности той или иной точки числовой оси.

Рассмотрим общие свойства плотности распределения.

Свойство 1. Плотность распределения f(x) есть неотрицательная функция:

f(x) ³ 0.

Это свойство непосредственно вытекает из определения функции f(x) как производной неубывающей функции F(x). Из математического анализа известно, что производная неубывающей функции неотрицательна, т.е. F¢(x)³0.

Свойство 2. Вероятность того, что НСВ X примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b:

.

Используя соотношение P(a£X<b)=F(b)–F(a) и формулу Ньютона-Лейбница

,

получаем

.

Так как для НСВ P(a£X<b)= P(a<X<b), получаем исходное равенство. Здесь учтено, что P(X=a)=0.

Свойство 3. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах –¥ до +¥ равен единице:

.

Согласно определению несобственного интеграла и свойству 4 для функции F(x), получим

.

Свойство 4. Зная плотность распределения f(x), можно найти функцию распределения F(x):

.

Действительно,

.

В связи с последним свойством, функцию распределения F(x) НСВ называют интегральной функцией распределения, а плотность распределения f(x) – дифференциальной функцией распределения.

Пример 4.2. Функция распределения НСВ имеет вид

Определить плотность распределения f(x) и параметр a. Найти также вероятность попадания случайной величины в интервал (0;p/2). Построить графики F(x) и f(x).

Решение. Согласно определению плотности распределения: f(x)=F¢(x), получим

Для определения параметра a воспользуемся свойством 3 для f(x):

.

Отсюда находим, что a=1/2. Для нахождения вероятности попадания случайной величины в интервал (0;p/2) воспользуемся свойством 2 для функции F(x):

Графики F(x) и f(x) изображены ниже на рис.4.4

Пример 4.3. Случайная величина задана плотностью распределения:

Найти функцию распределения F(x), а также вероятность попадания НСВ в интервал (1;2).

Решение. Воспользуемся свойством 4 для f(x):

.

Таким образом, искомая функция распределения F(x) имеет вид

Для нахождения вероятности попадания случайной величины в интервал (1;2) воспользуемся свойством 2 для f(x):

.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: