ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЛЕКЦИЯ 4

Основные теоремы теории вероятностей. Условная вероятность. Вероятность произведения событий. Вероятность суммы событий. Вероятность появления хотя бы одного события. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

3.1. Условная вероятность. Вероятность
произведения событий.

В основе определения случайного события, а следовательно и вероятности, лежит выполнение некоторого комплекса условий, которым характеризуется эксперимент. Если никаких других ограничений, кроме данных условий, не налагается, то такие вероятности называются безусловными. Однако в ряде случаев приходится
рассматривать вероятность события А при дополнительном условии, что произошло некоторое другое событие В. Такая вероятность называется условной и обозначается символом P(A|B) или P_B(A), означающее вероятность события А при условии, что событие В уже произошло.

Смысл условной вероятности проиллюстрируем на примере классической вероятностной схемы. Например, пусть брошены две игральные кости. Чему равна вероятность события А={сумма выпавших очков равна 8}, если известно, что произошло событие B={сумма есть четное число}? Число всех возможных элементарных исходов равно n=6²=36, число всех благоприятствующих событию А элементарных исходов равно m=5. Следовательно, безусловная вероятность P(A)=5/36. Если дополнительно учесть, что событие В уже произошло, то число возможных исходов уменьшится и будет равно k=18. Тогда условная вероятность P_B(A)=5/18.

Общее решение задачи нахождения условной вероятности для классической схемы не представляет труда. Пусть в результате опыта возможны n равновероятных несовместных исходов, образующих полную группу. Из них событию В благоприятствуют m событий, а событию АВ – k событий. Если событие В произошло, то это означает, что наступило одно из m исходов, благоприятствующих событию В. При этом условии событию А благоприятствуют только k исходов, благоприятствующих событию АВ. Тогда

.

Итак, согласно классическому определению вероятности

. (3.1)

Эта формула при аксиоматическом подходе принимается за общее определение условной вероятности. Отметим, что условная вероятность может как совпадать с безусловной вероятностью, так и быть меньше или больше нее.

Пример 3.1. Какова вероятность, что в семье из двух детей оба ребенка мальчики (событие А), если известно, что один из них точно мальчик (событие В)?

Решение. В семье из двух детей возможны четыре случая: {ММ}, {ДД}, {МД}, {ДМ}. Безусловная вероятность первого события равна 1/4, если считать рождения мальчика и девочки равновероятными. При дополнительном условии, что произошло событие B={имеется хотя бы один мальчик}, второй возможный исход исключается, тогда

P_B(A)=1/3.

С другой стороны,

,

т.е. получается тот же самый ответ.

Из определения условной вероятности вытекает правило вычисления вероятности произведения событий:

P(AB) = P(A)P_A(B) = P(B)P_B(A), (3.2)

которое называется теоремой умножения вероятностей. По индукции легко получить более общую формулу:

P(A₁A₂...A_n) = P(A₁)P(A₂|A₁)P(A₃|A₁A₂)...P(A_n|A₁A₂...A_n–1) (3.3)

Понятие условной вероятности позволяет естественным образом определить независимость событий. Говорят, что событие А независимо от события В, если имеет место равенство

P_B(A) = P(A), (3.4)

т.е. если наступление события В не влияет на вероятность наступления события А. Если событие А не зависит от В, то и событие В также не зависит от А. Действительно, поскольку имеет место равенство

P(A)P_A(B) = P(B)P_B(A) = P(B)P(A),

то P_A(B)=P(B). Таким образом, свойство независимости взаимно. Поэтому за определение независимости двух событий А и В принимается более симметричное условие:

P(AB) = P(A)P(B). (3.5)

Это есть теорема умножения вероятностей независимых событий.

Пример 3.2. Дана электрическая цепь:

Вероятность выхода из строя элемента А равна 0,1, элемента В – 0,2, элемента С – 0,3. Найти вероятность разрыва цепи.

Решение. В данном случае разрыв цепи произойдет только тогда, когда выйдут из строя все элементы цепи, т.е. и элемент А, и элемент В, и элемент С. При помощи алгебры событий разрыв цепи можно описать следующим образом: . Поскольку эти события независимы, то

Пример 3.3. Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле (событие А) равна 0,8. Какова вероятность поражения цели, если в 2% случаях бывают осечки, т.е. в 2% случаях выстрела не происходит?

Решение. Пусть событие В состоит в том, что выстрел произошел, тогда событие означает противоположное событие, т.е. что произошла осечка. По условию P( )=0,02, отсюда получаем P(B)=1–P( )=0,98. По условию задачи P_B(A)=0,8. Поражение цели означает совмещение событий В и А, т.е. что выстрел произойдет и даст попадание. Поэтому

P(AB) = P(B)P_B(A) = 0,98×0,8 = 0,784.

Пример 3.4. В коробке девять одинаковых радиоламп, три из которых были в употреблении. В течение рабочего дня мастеру для ремонта пришлось взять две радиолампы. Какова вероятность того, что обе радиолампы были в употреблении?

Решение. Вероятность того, что первая взятая радиолампа была в употреблении (событие А), равна P(A)=3/9. После того как событие А произошло в коробке осталось 8 радиолам, из которых две были в употреблении. Поэтому для события В, состоящего в том, что вторая радиолампа была в употреблении, условная вероятность P_A(B)=2/8. Следовательно, вероятность появления двух ламп, бывших в употреблении, равна:

P(AB) = P(A)P_A(B) = .

Заметим, что данную задачу можно решить и комбинаторным способом:

P(AB) = .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: