БУРБАКИ НИКОЛЯ (Bourbaki Nicolas) (1936)

БУРБАКИ НИКОЛЯ(Bourbaki Nicolas) (1936) — собирательное название группы французских матема­тиков, выпускников университета "Высшая Нормаль-

ная школа" (Париж), выступивших с концепцией (иду­щей от Д.Гильберта) построения математики с точки зрения принципов логики и аксиоматики теории мно­жеств Цермело-Френкеля (в доработке Бернайса и Геделя). Состав и численность группы Б.Н. не известны. Многотомный трактат Б.Н. "Элементы математики" (издаваемый с 1939) развивает аксиоматическую фор­мальную систему, долженствовавшую преобразовать главные направления математических наук в "частные аспекты общей концепции". В изложении давался только логический каркас (абстрактный и формализо­ванный) теорий. В основаниях изложения лежат опре­деляемые посредством аксиом иерархические структу­ры: топологические, порядка, группы и др. По Б.П., "единственными математическими объектами стано­вятся, собственно говоря, математические структуры" ("Архитектоника математики", 1948). М.Клайн о Б.Н. пишет, что "в целом свойственное этой группе стрем­ление рассматривать математику как науку о математи­ческих структурах идет навстречу определенным уст­ремлениям в современной прикладной математике, вы­ражающимся в росте значения математического моде­лирования внематематических феноменов". Классифи­кация математических наук на основе математических структур, данная там же, отличается от стандартной. Способ рассуждений в трудах Б.Н. — только "от обще­го к частному". По Б.Н., Д.Гильберту и А.Черчу, мате­матические понятия и их свойства существуют в неко­тором смысле объективно и потому познаваемы: мате­матическую истину открывают, а не изобретают; по­этому то, что эволюционирует, есть не математика, а лишь человеческое знание математики. При этом для Б.Н. основная проблема мира "состоит во взаимодей­ствии мира экспериментального и мира математичес­кого. То, что между материальными явлениями и мате­матическими структурами существует тесная связь — это, как кажется, было совершенно неожиданным спо­собом подтверждено... открытиями современной физи­ки, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого (если только этим словам можно приписать ка­кой-либо смысл), и быть может, мы их никогда не узна­ем". Согласно М.Клайну, "математику можно пред­ставлять как своего рода хранилище математических структур. Некоторые аспекты физической или эмпири­ческой реальности точно соответствуют этим структу­рам, словно последние "подогнаны" под них". Для Б.Н. логика, подчиненная аксиомам собственно математи­ки, "не определяет ни того, что такое математика, ни того, чем занимаются математики", а представляет со­бой "не больше и не меньше, как грамматику языка, ко­торым мы пользуемся, языка, который должен был су­ществовать еще до того, как могла быть построена

грамматика" ("Журнал символической логики", 1949). Ситуация с бесконечными множествами продемонст­рировала потребность новых модификаций логики при развитии математики. Применяя аксиому выбора и за­кон исключенного третьего, Б.Н. отвергали концепции Д.Гильберта, Рассела, Фреге и др. А по поводу непро­тиворечивости своих построений Б.Н. только лишь по­мечали в них, что все противоречия возможно преодо­леть способом, "позволяющим избежать всех возраже­ний и не оставляющим сомнения в правильности рас­суждений". По этому поводу Б.Н. также полагали, что "как показывает анализ исторического развития мате­матики, было бы неверно утверждать, что математика свободна от противоречий; непротиворечивость пред­стает как цель, к которой следует стремиться, как некое данное Богом качество, ниспосланное нам раз и на­всегда. С древнейших времен критические пересмотры оснований всей математики в целом или любого из ее разделов почти неизменно сменялись периодами не­уверенности, когда возникали противоречия, которые приходилось решать... Но вот уже 25 веков математики имеют обыкновение исправлять свои ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение своей науки; это да­ет им право смотреть в будущее спокойно" ('Теория множеств"). Направление интуиционизма в математи­ке, о котором, как считают Б.Н., "математики вспоми­нают как о своего рода историческом курьезе", оказало существенное влияние на математические науки хотя бы одним уже только тем, "что заставило своих про­тивников, т.е. подавляющее большинство математиков, яснее осознать причины (одни — логического порядка, другие — психологического) их веры в математику" ("Очерки по истории математики"). По поводу все бо­лее и более нарастающей специализации в математиче­ских науках, Б.Н. писали, что многие из математиков "не в силах даже понять язык и терминологию своих собратьев, специальность которых далека от них. Нет такого математика, ...который бы не чувствовал себя чужеземцем в некоторых областях огромного матема­тического мира; что же касается тех, кто подобно Пу­анкаре или Гильберту, оставляет печать своего гения почти во всех его областях, то они составляют даже среди великих редчайшее исключение" ("Очерки по истории математики"). Лидеры Б.Н. всегда деклариро­вали "антиприкладной" характер своей деятельности. Один из лидеров Б.Н., Ж.Дьедонне (Жан Александр Эжен Dieudonne, p. в 1906, окончил Эколь Нормаль в 1927, преподавал в Университетах Франции и США, член Парижской АН с 1968; основные направления на­учных интересов: алгебраическая геометрия, матема­тический анализ, спектральная теория операторов, то­пология, функциональный анализ), считая, что матема-

тика развивается в силу внутренних побудительных мотивов, на предупреждения "о гибельных последст­виях, которые математика неминуемо навлечет на себя, если откажется от применений к другим наукам", отве­чал, что "даже если бы математика насильно была от­резана от всех прочих каналов человеческой деятель­ности, в ней достало бы на столетия пищи для размы­шлений над большими проблемами, которые мы долж­ны еще решить в нашей собственной науке" ("Совре­менное развитие математики", 1964); впрочем, он здесь говорил только о чисто абстрактных областях, близких его научным интересам. Выражая полную уве­ренность в том, что любые возникающие проблемы ло­гики непременно когда-нибудь будут разрешены, Дьедонне утверждал, что "если когда-нибудь будет доказа­но, что математика противоречива, то скорее всего ста­нет какому правилу следует приписать полученный ре­зультат. Отбросив это правило или надлежащим обра­зом видоизменив его, мы избавимся от противоречия. Иначе говоря, математика изменит направление своего развития, но не перестанет быть наукой. Сказанное не просто умозаключение: нечто подобное произошло по­сле открытия иррациональных чисел. Мы далеки от мысли оплакивать это открытие, потому что оно вскрыло противоречие в пифагорейской математике, а, напротив, сегодня мы считаем его одной из великих побед человеческого духа". В докладе "Абстракция и математическая интуиция", сделанном Дьедонне на коллоквиуме "Математика и реальность" (1974, Люк­сембург), в традициях Б. на первый план были выведе­ны математические структуры, и большое внимание было уделено взаимопроникновению алгебры, арифме­тики и теории функций. Дьедонне также говорил там, что в математике нет одной интуиции (т.к. в больших математических конструкциях могут объединяться не­сколько интуиции), а в математике есть спектр разно­образных взаимодействующих между собой устано­вок. Математические интуиции не постоянны, т.к. "почти каждый год появляется незаурядный молодой математик, показывающий новый способ перенесения интуиции из одной области в область, совершенно от нее отличную... Прогресс интуиции... идет рука об ру­ку с прогрессом абстракции. Чем более абстрактно яв­ление, тем больше оно обогащает интуицию... Потому что абстракция удаляет из теории все несуществен­ное... Остался скелет, и в этом скелете вам иногда уда­ется увидеть структуры, которые иначе вам увидеть бы не удалось... Возможно, это мучительно для лиц, жела­ющих ее /интуицию — C.C.I постичь, но я не думаю что кто-то может этого избежать". Один из лидеров Б.Н., А.Вейль (Андре Weil, p. в 1906, окончил Эколь Нормаль в 1928, профессор Принстонского института

перспективных исследований, член Парижской АН с 1982; основные направления научных интересов: тео­рия непрерывных групп, абстрактная алгебраическая геометрия; ввел понятия "абстрактное алгебраическое многообразие" и "равномерное пространство") напи­сал математический раздел "Математическая теория брачных союзов" диссертации антрополога и филосо­фа Леви-Стросса "Элементарные системы родства" (1949). А.Вейль, утверждая, что "математика уже не есть то прежнее величественное творение человечес­кой мысли", однако полагал, что "для нас, чьи плечи ноют под тяжестью наследия греческой мысли, кто идет по стопам героев Возрождения, цивилизация не­мыслима без математики. Подобно постулату о парал­лельности, постулат о том, что математика выживет, утратил свою "очевидность". Но если первый постулат перестал быть необходимым, то без второго мы жить бы не смогли".

С.В. Силков

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: