Элементы теории разностных систем

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Ранее мы рассматривали обыкновенные дифференциальные уравнения. Их решения зависят от одной переменной. Во многих практических задачах искомые функции зависят от нескольких переменных, и описывающие такие задачи уравнения могут содержать частные производные искомых функций. Они называются уравнениям с частными производными.

Полная математическая постановка задачи наряду с дифференциальным уравнениями содержит также некоторые дополнительные условия. Если решение ищется в ограниченной области, то задаются условия на границе, называемые граничными (краевыми) условиями. Такие задачи называются краевыми задачами для уравнений с частными производными.

Если одной из независимых переменных в рассматриваемой задаче является время t, то задаются некоторые условия в начальный момент t₀, называемые начальными условиями. Задача, которая состоит в решении уравнения при заданных начальных условиях, называется задачей Коши для уравнения с частными производными. При этом задача решается в неограниченном пространстве и граничные условия не задаются. Задачи, при формулировке которых ставятся граничные и начальные условия, называются нестационарными (или смешанными) краевыми задачами. Получающиеся при этом решения меняются с течением времени.

В дальнейшем будем рассматривать лишь корректно поставленные задачи, т.е. задачи, решение которых существует и единственно в некотором классе начальных и граничных условий и непрерывно зависит от как от этих условий, так и от коэффициентов уравнений.

Решение простейших задач для уравнений с частными производными в ряде случаев может быть проведено аналитическими методами. Однако основным классом применяемых методов, являются численные. Среди численных методов широко распространенными являются разностные методы. Как и в случае ОДУ они основаны на введении некоторой разностной сетки в рассматриваемой области. Значения производных, начальные и граничные условия выражаются через значения функций в узлах сетки, в результате чего получается система алгебраических уравнений, называемых разностной схемой. Решая эту систему уравнений, можно найти в узлах сетки значения сеточных функций, которые приближенно считают равными значениям искомых функций.

Мы будем рассматривать достаточно узкий круг задач для уравнений первого и второго порядков, линейных относительно производных. В случае двух независимых переменных эти уравнения можно записать в следующем виде:

(1)

Здесь - искомая функция. Коэффициенты a, b, c, d, e, f и правая часть g могут зависеть от переменных x, y и искомой функции u. В связи с этим уравнение может быть: 1) с постоянными коэффициентами; б) линейным, если g линейно зависит от u, а коэффициенты зависят только от x, y; в) квазилинейным, если коэффициенты зависят от u. Уравнение (1) – это самый общий вид.

Существуют различные виды уравнений в зависимости от соотношения между коэффициентами.

1) При a = b = c = f = 0, d¹ 0, с ¹ 0 получается уравнение первого порядка следующего вида

, (2)

называемое уравнением переноса. На практике в этом уравнении одной из переменных может быть время. Тогда его называют также эволюционным уравнением.

2) Если хотя бы один из коэффициентов a, b отличен от нуля, то является уравнением второго порядка. В зависимости от знака дискриминанта оно может принадлежать к одному из трех типов: гиперболическому (D > 0), параболическому (D = 0) или эллиптическому (D < 0).

Приведем некоторые примеры, которые мы будем рассматривать в дальнейшем:

волновое уравнение (гиперболическое)

(3)

eравнение теплопроводности или диффузии (параболическое)

, a>0 (4)

уравнение Лапласа (эллиптическое)

(5)

Если правая часть уравнения (5) отлична от нуля, то оно называется уравнением Пуассона.

Уравнение ФПК относится к уравнениям параболического вида

a=0.5; b = 0; c = 0; d =1. Таким образом D = 0 – параболическое уравнение.

Уравнение ФПК – линейное дифференциальное уравнение в частных производных параболического типа и к нему применимы методы решений, разработанные в математической физике.

Суть численных методов сводится к замене дифференциального уравнения его конечно-разностным аналогом, например:

,

где i и j – номер расчетного шага времени и расхода воды соответственно (рис. 3.6 а).

Граничными условиями могут быть, например, условия поглощения . В качестве начального условия берется гистограмма (см. рис. 3.6 б) с условием нормировки . Расчет производится последовательно по временным шагам в соответствии с алгоритмом

.

От указанных недостатков свободна неявная схема, хотя сам алгоритм расчета по ней существенно усложняется. Рассмотрим метод прогонки. Конечно-разностная аппроксимация уравнения ФПК имеет вид:

,

или более сжато

, (3.27)

где

, ,

.

Левое граничное условие аппроксимируется так:

,

или

. (3.28)

При j = 0

, .

Подставив (3.28) в (3.27), получим:

. (3.29)

Сравнивая (3.28) и (3.29), получаем рекуррентные формулы для расчета и :

, . (3.30)

Значения берутся из начального условия. Формулы (3.30) реализуют прогонку левого граничного условия в прямом направлении.

Зная и , решение находим по (3.28), начиная с правого граничного условия (обратная прогонка).

Численно реализовать уравнения для моментов легко, если они решаются последовательно. Для нелинейной функции возникают проблемы физического характера, связанные с замыканием системы.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: