Уравнение состояния и передаточная функция
При любых видах управляющих устройств объект как правило непрерывный. Понятие цифрового управления часто используется в смысле управления в дискретные моменты времени каким-либо объектом, хотя, строго говоря, термин «цифровое управление» означает управление движением объекта цифровой вычислительной машиной с присущим ей эффектом дискретизации. При этом показатели эффективности и качества управления оцениваются по характеру движения системы в непрерывной временной области. Следовательно, объект системы цифрового управления можно рассматривать как непрерывную во времени систему.
Уравнение для выходной переменной формализовано представляется в виде:
, , , , (1.26)
где х(t) - n-мерный вектор переменных состояния,
u(t) - входное воздействие,
у(t) - выходная координата.
Параметры bс, cc для многомерных систем имеют вид матриц соответствующих размерностей, например Вс(n × m), Сс(р × n).
Применим прео6разование Лапласа к системе уравнений (1.26).
Обозначим такое преобразование функции x(t) как F+1{x(t)} = X(s). Тогда преобразование Лапласа производной этой функции будет иметь вид:
В результате преобразования Лапласа обеих частей уравнения получим:
Это дает нам возможность представить систему уравнений на комплексной плоскости S в виде
Здесь U(s), Y(s) - преобразование Лапласа соответственно для функций u(t), у(t) (в случае многомерных систем преобразование Лапласа векторных функций осуществляется покомпонентно). Принимая х(0) = 0, из приведенных выше выражений получим:
Отношение называется передаточной функцией непрерывной системы. Преобразовав обратную матрицу в выражении, можно переписать передаточную функцию в виде
Выражение представляет собой правильную рациональную дробь, степень полинома знаменателя которой больше либо равна степени полинома числителя. Система с такой передаточной функцией называется собственной, или характеристической, системой. Корни полинома знаменателя передаточной функции
или, другими словами, собственные (характеристические) числа матрицы Ас, называются полюсами системы, а корни полинома числителя
нулями системы. Вводя понятие системной передаточной матрицы Mс(S) вида
можно отметить, что нули передаточной функции (2.5) совпадают с нулями полинома I .
Пример 1.3. Пусть имеется электрическая цепь, состоящая из последовательно соединенных элементов: катушки индуктивности L, конденсатора емкостью С и активного сопротивления R. Падения напряжения на элементах такой электрической цепи v(t) и ток в контуре i(t) подчиняются зависимостям
, , (1.27)
Исходя из зависимостей (1.27) и закона Кирхгофа можно получить уравнение состояния для данной системы. Для этого, приняв за переменные состояния ток, протекающий через катушку индуктивности , и напряжение на обкладках конденсатора и обозначив ток в катушке индуктивности через Х1 (t), а напряжение на обкладках конденсатора через Х2(t), запишем уравнение баланса напряжений в виде:
(1.28)
где u(t) – напряжение на входе. Учитывая соотношение
Cdx2(t)/dt = x1(t) (1.29)
а)
б)
Рис 1.3. а) Электрический LCR контур, б)Пример механической системы
и приводя выражения (1.28) и (1.29) к нормальной форме Коши, получим уравнения состояния системы
и уравнение выхода системы
принимая в качестве выходной координаты напряжение на обкладках конденсатора
(У =Х2).
Передаточная функции системы, будет иметь вид
Пример 1.4. Пусть имеется механическая система, представляющая собой груз массой М, закрепленный на пружине с коэффициентом упругости К и движущийся в вязкой среде с коэффициентом вязкого трения D. Инерционная сила (fи), сила упругости (fу) и сила вязкого трения (fтр), действующие в системе, определяются соотношениями:
, ,
где х(t)- перемещение груза.
Принимая u (t) за приложенную к грузу внешнюю силу (внешнее воздействие), запишем уравнение динамики системы:
Обозначая перемещение через Х1, а скорость перемещения через Х2 и рассматривая их в качестве переменных состояния, на основании выражения (2) по аналогии с предыдущим примером получим уравнение состояния механической системы в виде:
и уравнение выхода системы
если в качестве выходной координаты считать перемещение груза X1.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|