Расчетно-графическая работа

по основам теории колебаний для студентов ФМФ

Механическая система с одной степенью свободы совершает малые колебания вблизи устойчивого положения равновесия.

Учитывая силу сопротивления и возмущающую силу , действующие на тело 1, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, определить амплитуду B вынужденных колебаний механической системы как функцию частоты возмущающей силы, а также найти ее максимальное значение и значение этой амплитуды при резонансе . За обобщенную координату принять y – смещение тела 1 от положения статического равновесия.

Схемы систем показаны на рис. 1, а необходимые данные приведены в табл. 1 и 2.

В задании приняты следующие обозначения: 1 – груз массой m₁; 2 – блок массой m₂ и радиусом r₂ (однородный сплошной диск); 3 – блок массой m₃ и радиусом инерции ; 4 – однородный сплошной диск массой m₄ и радиусом r₄; 5 – диск массой m₅ и радиусом инерции ; 6 – тонкий однородный стержень массой m₆ и длиной l; 7 – стержень, масса которого не учитывается; с – коэффициент жесткости пружины.

Системы тел показаны в положении покоя при статической деформации пружин (рис. 1).

В вариантах 5, 6, 14 и 23 стержень 6 жестко соединен с диском 4.

Пример выполнения задания.Дано: m₁ = 1 кг, m₂ = 2 кг,

m₄ = 1 кг, m₆ = 3 кг, 1 = 0,6 м, с = 2000 Н/м, b = 200 Н·с/м,

Н = 50 Н.

Определить амплитуду B вынужденных колебаний механической системы, а также найти ее максимальное значение и значение этой амплитуды при резонансе .

1	2
3	4
5	6
7	8
9	10

Рис. 1

11	12
13	14
15	16
17	18
19	20

Рис. 1

21	22
23	24
25	26
27	28
29	30

Рис. 1

Таблица 1

Вариант	l м	м	м	м	m1 кг	m2 кг	m3, m4, m5 кг	m6 кг	С Н/см
	0,5	–	–	–			–
	0,5	–	–	0,2
	0,5	1,5r	–	–		–
	0,6	–	–	–
	0,6	–	–	0,15		–
	0,6	–	–	0,15		–
	–	–	–	–		–
	–	–	–	–				–
	0,6	–	–	–			–
	0,6	–	–	–			–
	–	–	–	–			–
	0,5	–	–	–			–
	0,3	–	–	–
	0,4	–	–	0,1		–
	0,4	1,7r	–	–		–
	–	–	–	–				–
	–	–	–	–			–
	–	–	–	–				–
	0,2	–	–	–			–
	0,5	–	–	–			–
	–	2r	–	–		–
	–	–	1,4r	–				–
	0,4	–	–	0,2
	–	–	1,7r	–		–
	0,3	–	–	0,1
	–	1,4r	–	–		–		–
	–	–	1,5r	–				–
	–	–	1,7r	–				–
	–	–	1,3r	–				–
	–	–	1,4r	–				–

Таблица 2

.

Кинетическую T и потенциальную П энергию системы вычислим с точностью до величин второго порядка малости относительно величин y и .

Кинетическая энергия 1 тела

.

Блок 2 – однородный сплошной диск радиуса , поэтому его кинетическая энергия определяется равенством

.

Так как стержень 6 жестко соединен с блоком 2, ,

.

Учитывая, что , получим

.

Тело 4 – однородный сплошной диск, совершающий плоскопараллельное движение. Его кинетическая энергия равна

,

где . Подставляя эти выражения в , получим

.

Таким образом, кинетическая энергия рассматриваемой механической системы равна

.

Из последнего равенства определяем коэффициент инерции механической системы

кг.

Обобщенная сила, соответствующая потенциальным силам, может быть вычислена по формуле

,

где – потенциальная энергия сил тяжести, а – потенциальная энергия пружины. Если принять в равновесном положении системы = = 0, то в произвольный момент времени потенциальная энергия силы тяжести груза равна

,

а потенциальная энергия силы тяжести стержня –

,

где – угол поворота стержня. При малых y угол мал. Поэтому

.

Таким образом,

.

Потенциальная энергия пружины

,

где – статическая деформация пружины в равновесном положении системы (т.е. при y = 0); – дополнительная деформация пружины при перемещении тела 1 на y. Анализируя рис. 19, нетрудно доказать, что = 3y.

Потенциальная энергия всей системы

.

Статическую деформацию пружины определим из условия

.

Отсюда . Подставляя это значение в выражение для П, окончательно получим

.

Тогда

.

С другой стороны . Приравнивая между собой правые части двух последних равенств, определяем коэффициент жесткости механической системы:

.

При положение равновесия механической системы устойчиво (в этом положении потенциальная энергия системы имеет минимум). Если , то положение равновесия неустойчиво.

Обобщенная сила, соответствующая возмущающим силам

.

Обобщенная сила, соответствующая силам сопротивления

.

Подставляя выражения кинетической энергии и обобщенных сил в уравнение Лагранжа 2 рода, получим дифференциальное уравнение

, где

– собственная частота колебаний;

– коэффициент затухания; – относительная амплитуда возмущающей силы.

Частное решение полученного уравнения, которое описывает вынужденные колебания, имеет вид

,

где

– амплитуда; – сдвиг по фазе вынужденных колебаний по отношению к фазе возмущающей силы.

Так как параметры k и n найдены, величины B и ε являются функциями p – частоты возмущающей силы.

Максимальное значение амплитуды B достигается при значениях p, удовлетворяющих условиям

,

где

.

Определим критические точки функции :

.

Отсюда (значение имеет физический смысл при ). Знаки второй производной:

.

Таким образом, функция имеет максимальное значение при и минимальное значение при . Тогда

м.

При резонансе , поэтому

м.

Анализируя полученные результаты, можно сделать вывод, что при малом сопротивлении .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: