Однофакторный дисперсионный анализ для несвязанных выборок

Зависимые и независимые выборки. Методы сравнения центральных тенденций для двух выборок. Методы сравнения центральных тенденций для нескольких выборок. Дисперсионный анализ и его виды.

Выборка-это ограниченная по численности группа объектов, отобранная из генеральной совокупности для изучения ее свойств. Предполагается что она обладает всеми интересующими исследователя свойствамими генеральной совокупности.

Зависимая выборка характеризуетсяся тем, что каждому испытуемому одной выборки поставлен в соответствие по определенному критерию испытуемый из другой выборки.

Независимая- вер-ть отбора любого испытуемого одной выборки не зависит от отбора любого из испытуемых другой выборки.

Существует R-методология предполагает что выборка это множ-во испытуемых, и Q-методология предполагающая что выборка –множество стимулов.

Сравнение выборок по номенативному признаку относят к задачам анализа классификаций и таблиц сопряжонности. К методам сравнения выборок относят способы проверки статистических гипотез о различии выборок по уровню выраженности признака, измеренного в количественной шкале. Непараметрические методы сравнения выборок являются аналогами параметрических методов сравнения средних значений.

Методы сравнения центральных тенденций для двух выборок:

При номинативной НП для 2х независимых выборок применяются:

1.Елси ЗП ранговая Uкр.Мана-Уитни(показывает насколько совпадают/пересекаются два ряда значений измеренного признака.чем меньше совпадение тем больше различаются эи два ряда)

2. Если ЗП метрическая tкр.Стьюдента для независимых выборок(позволяет проверить ипотезу о том, что средние значения двух генеральных совокупностей, из которых извлечены сравниваемые независимые выборки отличаются друг от друга.Ограничение:в случае разной численности выборок их дисперсии статистически достоверно не различаются и необходимо проверить по критерию F-Фишера или Ливена).

При номинативной НП для 2х зависимых выборок применяются:

1.Если ЗП ранговая Ткр. Вилкоксона(основан на упорядочивании величин разностей/сдвигов значений признака в каждой паре его измерений,где критерий знаков основан на учете только знака этой разности)

2. Если ЗП метрическая tкр. Стьюдента для зависимых выборок(позволяет проверить что средние значения 2генеральных совокупностей из которых вычленены зависимые выборки отличаются друг от друга. Ограничение:распределения признака и в той и в другой выборке существенно не отличаются от нормального,данные двух измерений,соответствующих той и другой выборке положительно коррелируют).

Методы сравнения центральных тенденций для нескольких выборок:

При номинативной НП для неск. независимых выборок применяются:

1.Если ЗП ранговая Нкр. Краскала-Уоллеса (проверка гипотезы о различии более двух выборок по уровню выраженности изучаемого признака. Для утверждения о том, что уровень выраженности признака в какйо-то из срав.выборок выше/ниже, необходимо парное соотнесение выборок по кр.Uмана-уитни).

2.Если ЗП метрическая однофакторныйДА

При номинативной НП для неск. зависимых выборок применяются:

1.Если ЗП ранговая Хквадрат Фридмана(гипотеза о различии более двух зависимых выборок/повторных измерений по уровню выраженности изучаемого признака. Для уточнения направленности выраженности необходимо еще провести Т-вилкоксона. Может быть более эффективен чем ДА в случаях повторных измерений на небольших выборках).

2.Если ЗП метрическая ДА для повторных изменений:

ДА-это метод сравнения нескольких (более двух) выборок по признаку, измеренному в метрической шкале. Идет сравнение больше 2х средних значений. Допускает сравнение выборок более чем по одному основанию-когда деление на выборки производится по неск.номинативным переменным, каждая из которых имеет 2 и более градации. Метод разработал Фишер. НП(или иначе фактор)-номенативная, ЗП-метрическая. В зависимости от соотношения выборок, соответствующих разным градациям/уровням фактора,различают 2типа НП. Градациям межгруппового фактора соответствуют независимые выборки объектов. Градациям внутригоруппового фактора зависимые выборки, чаще всего повторные измерения ЗП на одной и той же выборке.

В зависимости от типа экспериментального плана выделяют 4 основных вида ДА:

1.Однофакторный-используется при изуч.влияния 1фактора на ЗП.

2.Многофакторный(двух,трех итд)используется при изуч.влияния 2и более НП на ЗП. Позволяет проверить гипотезы не только о влиянии каждого фактора в отдельности, но и о взаимосвязи факторов.(проверка 3х гипотез: о влиянии 1фактора,о влиянии другого фактора, о взаимодействии факторов)

3.ДА с повторными измерениями-применятеся когда о крайней мере один из факторов изменяется по внутригрупповому плану, то есть различным градациям этого фактора соответствует одна и та же выборка объектов.(проверка 3х гипотез: о влиянии внутригруппового фактора, о влиянии межгр.фактора, о взаимодействии внутри и межгр. факторов).

4. Многомерный ДА-применятеся, когда ЗП является многомерной,т.е.представляет собой несколько/множество измерений изучаемого явления/свойства. Например, личностная и ситуационная тревожность.

Также выделяют: модели ДА с постоянными/фиксированными и случайными эффектами.

Независимые выборки характеризуются тем, что если процедура эксперимента и полученные результаты измерения некоторого свойства у испытуемых одной выборки не оказывают влияния на особенности протекания этого же эксперимента и результаты измерения этого же свойства у испытуемых (респондентов) другой выборки. Зависимые выборки характеризуются тем, что каждому испытуемому первой выборки поставлен в соответствие по определённому критерию испытуемого другой выборки.

При сравнении двух (и более) выборок важным параметром является их зависимость. Если можно установить гомоморфную пару (то есть, когда одному случаю из выборки X сооветствует один и только один случай из выборки Y и наоборот) для каждого случая в двух выборках (и это основание взаимосвязи является важным для измеряемого на выборках признака), такие выборки называются зависимыми.

Примеры зависимых выборок:

1.пары близнецов,

2.два измерения какого-либо признака до и после экспериментального воздействия,

3.мужья и жёны

4.и т. п.

В случае, если такая взаимосвязь между выборками отсутствует, то эти выборки считаются независимыми, например:

1.мужчины и женщины,

2.психологи и математики.

3.Соответственно, зависимые выборки всегда имеют одинаковый объём, а объём независимых может отличаться.

Сравнение выборок производится с помощью различных статистических критериев:

· t-критерий Стьюдента

· T-критерий Вилкоксона

· U-критерий Манна-Уитни

· Критерий знаков

· и др.

Критерий Стьюдента

Проверка гипотезы о существенности или несущественности различия двух выборочных средних - одна из часто встречающихся процедур в исследовательской работе. В этом случае можно применить критерий Стьюдента (при условии достаточно больших объёмов выборок (n≥30), или убедившись, что статистические ряды близки к нормальному закону распределения). t-критерий применяется в двух вариантах – когда сравниваемые выборки независимы (не связаны) и когда они зависимы (связаны).

Уровень значимости t-критерия равен вероятности ошибочно отвергнуть гипотезу о равенстве выборочных средних двух выборок, когда в действительности эта гипотеза имеет место. При проверке разности двух средних с помощью t-критерия Стьюдента используется следующий алгоритм:

1. Записать вариационный ряд результатов Х экспериментальной группы.

2. Записать вариационный ряд результатов Y контрольной группы.

3. Найти выборочные средние двух выборок и .

4. Найти выборочные дисперсии D_x и D_y.

5. Вычислить эмпирическое значение критической статистики

6. Определить по таблице критическое значение для соответствующего уровня значимости a и данного числа степеней свободы .

Если , то различия между средними значениями экспериментальной и контрольной групп существенны на данном уровне значимости.

Критерий Вилкоксона

Критерий применяется для сопоставления показателей изменений в двух разных условиях на одной и той же выборке испытуемых. С его помощью можно определить, является ли сдвиг показателя в каком-то одном направлении более существенным, чем в другом.

Нулевая гипотеза H₀={существенность сдвигов в типичном направлении не превосходит существенности сдвигов в нетипичном направлении}. На объём выборки накладывается следующее условие: 5≤n≤50.

Воспользуемся следующим алгоритмом:

1. Вычислим разности между индивидуальными значениями показателя после проведения эксперимента и до него.

2. Для полученных разностей найдём их модули и произведём их ранжирование в порядке возрастания.

3. Отметим ранги, соответствующие сдвигам в нетипичном направлении. Например, если в большинстве случаев после проведения эксперимента наблюдалось увеличение измеряемого параметра, то его уменьшение следует считать нетипичным сдвигом.

Эмпирическое значение критерия определяется как сумма рангов, соответствующих нетипичным сдвигам. В рассмотренном примере имеется только один такой сдвиг (см. таблицу), которому соответствует ранг, равный 5. Поэтому эмпирическое значение критерия будет численно равно этому рангу: T_эмп=5. Критическое значение следует искать в специальной таблице.

Пусть уровень значимости равен 0.05. По таблице находим, что T_кр(0.05)=10.

Сравним полученные значения критерия. Если критическое значение не превосходит эмпирического, то на данном уровне значимости отсутствуют основания для отклонения нулевой гипотезы о несущественности различий. Иначе, нулевая гипотеза отвергается.

Т.к. T_эмп=5<10=T_кр(0,05), то нулевую гипотезу следует отвергнуть и считать различия существенными.

Таким образом, схема применения критерия Вилкоксона будет иметь следующий вид:

Критерий Вилкоксона позволяет установить не только направленность изменений, но и их выраженность. Следующий рассматриваемый нами критерий служит только для определения направления изменения в двух связанных выборках.

Критерий Манна-Уитни

U-критерий Манна-Уитни используется для оценки различий между двумя малыми выборками (n₁,n₂≥3 или n₁=2, n₂≥5) по уровню количественно измеряемого признака. При этом первой выборкой принято считать ту, где значение признака больше.

Нулевая гипотеза H₀={уровень признака во второй выборке не ниже уровня признака в первой выборке}; альтернативная гипотеза – H₁={уровень признака во второй выборке ниже уровня признака в первой выборке}.

Рассмотрим алгоритм применения U-критерия Манна-Уитни:

1. Перенести все данные испытуемых на индивидуальные карточки, пометив карточки 1-й выборки одним цветом, а 2-й – другим.

2. Разложить все карточки в единый ряд по степени возрастания признака и проранжировать в таком порядке.

3. Вновь разложить карточки по цвету на две группы.

4. Подсчитать сумму рангов отдельно по группам и проверить, совпадает ли общая сумма рангов с расчетной.

5. Определить большую из двух ранговых сумм .

6. Вычислить эмпирическое значение U:

- количество испытуемых в - выборке (i = 1, 2), - количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.

7. Задать уровень значимости α и, используя специальную таблицу, определить критическое значение U_кр(α). Если , то H₀ на выбранном уровне значимости принимается.

Критерий знаков

Сравнивая результаты «до» и «после» какого-либо воздействия на учащихся, педагог видит тенденции повторного измерения – большинство показателей могут увеличиваться или, напротив, уменьшаться. Для того чтобы доказать эффективность воздействия, необходимо выявить статистически значимую тенденцию в смещении (сдвиге) показателей. Одним из наиболее простых критериев различия является критерий знаков G. Он дает возможность установить, на сколько однонаправленно изменяются значения признака при повторном измерении связанной однородной выборки. Критерий знаков применяется к данным, полученным в ранговой, интервальной и шкале отношений. В остальных случаях, когда сдвиги могут быть определены количественно и варьируются в достаточно широком диапазоне, лучше применять критерий Вилкоксона.

Определить, является ли изменение уровня тревожности статистически значимым.

Сдвигом называется разность между значениями измеряемого параметра «после» и «до» проведения эксперимента.

В качестве нулевой гипотезы примем: H₀={преобладание типичного направления сдвига является случайным}; альтернативная гипотеза – H₁={преобладание типичного направления сдвига не является случайным}.

Для проверки нулевой гипотезы определяют типичный сдвиг ("+" или "-") и считают число (количество) типичных и нетипичных сдвигов.

В примере число положительных сдвигов превосходит количество сдвигов в отрицательном направлении. Поэтому в данной задаче типичным является положительный сдвиг. Из таблицы видно, что число n таких сдвигов равно 8.

Эмпирическое значение критерия определяется, как число нетипичных сдвигов. В нашем случае G_эмп=5.

Критическое значение критерия G_кр(α;n) определяют по специальной таблице, где n – общее число сдвигов, т.е. объем выборки. Пусть уровень значимости α=0,05. Тогда G_кр(0,05; 13)=3.

Нулевая гипотеза принимается, если G_эмп≥G_кр(α;n). Поскольку G_эмп=5>3=G_кр(0,05; 13), то нулевая гипотеза принимается, и типичный сдвиг является случайным на выбранном уровне значимости.

Применение критерия знаков можно представить в виде следующей схемы:

Заметим, что количество измерений должно быть не меньше 5 и не больше 300. При равенстве типичных и нетипичных сдвигов критерий знаков неприменим.

Дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ, предложенный Р. Фишером, является статистическим методом, предназначенным для выявления влияния ряда отдельных факторов на результаты экспериментов.

В основе дисперсионного анализа лежит предположение о том, что одни переменные могут рассматриваться как причины (факторы, независимые переменные), а другие как следствия (зависимые переменные). Независимые переменные называют иногда регулируемыми факторами именно потому, что в эксперименте исследователь имеет возможность варьировать ими и анализировать получающийся результат.

Сущность дисперсионного анализа заключается в расчлене­нии общей дисперсии изучаемого признака на отдельные компо­ненты, обусловленные влиянием конкретных факторов, и про­верке гипотез о значимости влияния этих факторов на исследуе­мый признак. Сравнивая компоненты дисперсии друг с другом посредством F — критерия Фишера, можно определить, какая доля общей вариативности результативного признака обусловле­на действием регулируемых факторов.

Исходным материалом для дисперсионного анализа служат данные исследования трех и более выборок, которые могут быть как равными, так и неравными по численности, как связными, так и несвязными. По количеству выявляемых регулируемых фак­торов дисперсионный анализ может быть однофакторным (при этом изучается влияние одного фактора на результаты экспери­мента),двухфакторным (при изучении влияния двух факторов) и многофакторным(позволяет оценить не только влияние каждого из факторов в отдельности, но и их взаимодействие).

Дисперсионный анализ относится к группе параметрических методов и поэтому его следует применять только тогда, когда доказано, что распределение является нормальным. (Суходольский Г.В., 1972; Шеффе Г., 1980).

Однофакторный дисперсионный анализ для несвязанных выборок

Изучается действие только одной переменной (фактора) на исследуемый признак. Исследователя интересует вопрос, как изменяется определенный признак в разных условиях действия переменной (фактора). Например, как изменяется время решения задачи при разных условиях мотивации испытуемых (низкой, средней, высокой мотивации) или при разных способах предъявления задачи (устно, письменно или в виде текста с графиками и иллюстрациями), в разных условиях работы с задачей (в одиночестве, в комнате с преподавателем, в классе). В первом случае фактором является мотивация, во втором – степень наглядности, в третьем – фактор публичности.

В данном варианте метода влиянию каждой из градаций подвергаются разные выборки испытуемых. Градаций фактора должно быть не менее трех.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: