Знакопеременные, знакопостоянные и знакоопределенные квадратичные формы.

Линейные пространства. Замена базиса. Линейные системы. Критерий совместности системы (теорема Кронекера-Капелли).

1.1. Закон преобразования координат вектора при переходе к новому базису. Матрица перехода от старого базиса к новому базису, ее невырожденность.

1.2. Повторение основных понятий, терминов и методов решений, связанных с линейными системами

( совместность, несовместность, эквивалентные системы, элементарные преобразования, однородные и неоднородные системы, вырожденные и невырожденные системы, правило Крамера, матричный метод, метод Гаусса).

1.3. Критерий совместности линейной системы (теорема Кронекера-Капелли). Условия единственности и не единственности решения.

Однородные и неоднородная системы линейных уравнений.

2.1. Однородная система линейных уравнений, ее совместность.

2.2. Теорема о структуре общего решения линейной однородной системы (множество всех решений - линейное пространство). Базис (фундаментальная система решений) и размерность пространства решений линейной однородной системы.

2.3. Неоднородная система линейных уравнений, соответствующая ей однородная система. Теорема о структуре совместной линейной неоднородной системы.

Отображения множеств. Линейные операторы и их матрицы.

3.1. Отображения множеств. Образ и прообраз. Однозначное и взаимно однозначное отображения, примеры. Композиция отображений. Обратное отображение. Линейное отображение множеств.

3.2. Линейный оператор, его свойства, примеры линейных операторов.

3.3. Матричная запись действия линейного оператора в заданном базисе. Матрица линейного оператора и ее преобразование при переходе к новому базису.

Действия с линейными операторами.

4.1. Умножение линейного оператора на число, сложение линейных операторов, перемножение линейных операторов. Связь указанных действий с соответствующими операциями над матрицами линейных операторов.

4.2. Условие существования обратного отображения к линейному оператору, его свойства. Матрица обратного оператора, ее нахождение по матрице оператора. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его матрицы.

4.3. Ядро и образ линейного оператора, их свойства. Ранг и дефект линейного оператора. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа, ранга, дефекта.

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

5.1. Определение собственного вектора и собственного значения линейного оператора, их геометрический смысл. Главные направления линейного оператора. Нахождение собственных векторов и собственных значений на примере оператора зеркального отражения векторов от заданной плоскости .

5.2. Линейная независимость собственных векторов с различными собственными значениями.

Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора.

6.1. Характеристическая матрица, характеристический многочлен и характеристическое уравнение. Инвариантность характеристического многочлена и определителя матрицы линейного оператора.

6.2. Нахождение собственных значений из характеристического уравнения и собственных векторов из однородной системы с характеристической матрицей.

Линейный оператор простого типа.

7.1. Определение линейного оператора простого типа, диагонализуемость его матрицы. Достаточные условия оператора простого типа.

7.2. Геометрический смысл определителя матрицы линейного оператора в пространстве геометрических векторов.

Линейные, билинейные и квадратичные функции в линейном пространстве.

8.1. Линейная функция в линейном пространстве и ее представление в заданном базисе.

8.2. Билинейная функция в линейном пространстве и соответствующая ей билинейная форма в заданном базисе. Векторно-матричная запись билинейной формы. Матрица билинейной формы, закон ее изменения при переходе к новому базису и инвариантность ранга этой матрицы.

8.3. Квадратичная функция в линейном пространстве. Симметричные билинейные функции и соответствующие им квадратичные функции. Квадратичные функции и соответствующие им квадратичные формы. Матрица квадратичной формы и закон ее изменения при переходе к новому базису.

Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду.

9.1. Канонический и нормальный вид квадратичной формы.

9.2. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому и нормальному виду.

9.3. Положительный и отрицательный индексы, ранг квадратичной формы. Закон инерции. Три инварианта квадратичной формы.

Знакопеременные, знакопостоянные и знакоопределенные квадратичные формы.

10.1. Знакопеременные, знакопостоянные квадратичные формы (определения, примеры). Их канонический и нормальный вид, индексы и ранг.

10.2. Знакоопределенные (положительно и отрицательно определенные) квадратичные формы. Их канонический и нормальный вид. Индексы и ранг знакоопределенной формы.

10.3. Критерий Сильвестра положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы.

Евклидово пространство.

11.1. Определение евклидова пространства. Евклидово скалярное произведение. Примеры евклидовых пространств.

11.2. Неравенство Коши-Буняковского.

11.3. Длина вектора и угол между векторами в евклидовом пространстве.

11.4. Неравенство треугольника.

Матрица Грама.

12.1. Координатная и векторно-матричная запись скалярного произведения в заданном базисе. Матрица Грама и ее свойства. Примеры матриц Грама.

12.2. Преобразование матрицы Грама при переходе к новому базису.

12.3. Нахождение матрицы Грама скалярного произведения в базисе пространства геометрических векторов в случае, когда скалярное произведение в каноническом (ортонормированном) базисе этого пространства задается стандартным образом.

Ортонормированный базис.

13.1. Ортогональная система векторов, ее линейная независимость.

13.2. Ортогональный и ортонормированный базисы. Матрица Грама, запись скалярного произведения векторов и длин векторов в этих базисах. Теорема Пифагора в произвольном и ортонормированном базисах евклидова пространства.

13.3. Метод ортогонализации базиса.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: