Гипотеза о равенстве вектора средних значений постоянному вектору

Лабораторная работа №3

Тема: Проверка статистических гипотез

Проверка гипотез.

Проверка статистической гипотезы предполагает наличие выборочной совокупности данных, которая параметрически (своей функцией распределения) сравнивается с генеральной совокупностью или другой выборкой.

При проверке статистических гипотез используется понятие нулевой (прямой) и альтернативной (обратной, конкурирующей) гипотез. Прямая гипотеза (H₀) является основной и обычно содержит утверждение об отсутствии различий между сравниваемыми величинами. Альтернативная гипотеза (Н₁) представляется конкурирующей по отношению к нулевой и принимается после того, как отвергнута основная.

Суждения об истинности или ложности статистической гипотезы строятся на основе критериальной (тестовой) проверки. Существуют статистические критерии, отражающие результаты сравнений и принимающие наблюдаемые значения по выборочным данным, а также критерии критических значений, установленные теоретическим путем. В ходе сопоставления критериальных величин выясняется: можно принимать или следует отвергнуть нулевую гипотезу. Если наблюдаемое значение критерия не превышает критического, то, по крайней мере, теоретически отсутствуют основания, чтобы отвергнуть прямую (нулевую) гипотезу. В противоположном случае целесообразно предположить справедливость альтернативной гипотезы Н₁.

Критериальная проверка статистических гипотез допускает определенную вероятность ошибки в выводах. При этом разделяют вероятность ошибки первого рода ‑ отвергнуть нулевую гипотезу, когда она справедлива, и второго рода ‑ принять нулевую гипотезу, когда она ложна.

В экономических и социологических исследованиях из двух вероятностных характеристик ошибок, которые допускаются при проверке гипотез ( и ) обычно используется ‑ вероятность ошибки первого рода. Наиболее распространенными на практике значениями являются: 0,01; 0,05; 0,1, что соответственно указывает на вероятность получения достоверного вывода ( ) равную: 0,99; 0,95; 0,90.

Критериальная проверка гипотезы, в сущности, означает сравнительную характеристику параметрических значений или самого распределения случайной величины. Так, значения нормально распределенной величины, расположенные в непосредственной близости от центра распределения (математического ожидания ) и априорно имеющие более высокую степень (вероятность) принадлежности изучаемой совокупности данных, соответственно будут принимать критериальные значения, подтверждающие несущественность их отклонений от .

В многомерном случае используются те же статистические критерии соответствия, что и в одномерном, но они изменяются с учетом многовекторной природы случайной величины. Чаще всего это критерии для проверки параметрических гипотез: t-Стьюдента, F-Фишера, проверки непараметрических гипотез ‑ . С целью упрощения расчетов, а в последующем и выводов в анализе многомерной случайной величины часто принимается предположение о нормальности ее распределения.

Гипотеза о равенстве вектора средних значений постоянному вектору

В многомерном случае имеем дело c m – числом выборочных средних, т.е. вектором средних значений: Вектор сравнивается с постоянным вектором Прямая гипотеза имеет вид при альтернативной

Согласно двум приведенным гипотезам все соответствуют или существенно отличаются от

Наблюдаемое значение T²-критериявычисляется по формуле:

T² ‑ критерий известен как критерий Хотеллинга

Наблюденное значение сопоставляется с критическим, исчисляемым при заранее заданном уровне вероятности а ‑ допустить ошибку в выводах и числе степеней свободы v₁ = m и v₂ = п - т :

В формуле — табличное значение F-критерия Фишера для известных v₁=m и v₂=n-m. Многомерная гипотеза подтверждается при и не может быть принята, если

В многомерном статистическом анализе проверяется гипотеза о равенстве векторов средних значений для двух выборок имеет вид:

при этом конкурирующая гипотеза может быть записана следующим образом:

или в векторной форме:

Наблюдаемое значение T²-критериявычисляется по формуле:

где — векторы средних значений;

– количество объектов в первой и второй выборках;

‑ матрица, обратная объединенной ковариационной матрице: по выборочной совокупности данных, где K ‑ матрица центрированных значений с элементами .

Критические значения для Т² находятся по формуле, включающей квантиль F-распределения Фишера-Снедекора, определяемый при заданном уровне значимости и с числом степеней свободы :

.

При нулевая гипотеза принимается, и вывод о равенстве векторов средних значений следует с вероятностью . Если же , то гипотеза о равенстве векторов средних значений отвергается.

Расчет частных критериев для сравнений одного или нескольких средних значений из каждой выборочной совокупности осуществляется по формуле:

,

где — вектор, нивелирующий средние значения, не участвующие в сравнении, .

Для частных оценок различий средних значений критические величины определяются формулой:

.

Сравнение ковариационных матриц, отражающих взаимосвязи изучаемых признаков, открывает возможность дополнить и уточнить гипотетические предположения относительно самих признаков. Это приобретает особенное значение, если принять во внимание, что даже специфические индивидуальные признаковые характеристики могут совпадать случайно.

Нулевая гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется, если и принимается, когда .

Формула расчета статистики ,

где параметры b и определяются по формулам:

,

,

где n – объем выборки;

m ‑ число признаков, представляющих многомерную выборочную совокупность;

‑ матрица парных корреляций j показателя.

Величина W-критерия сравнивается с — табличными значениями ( ).

Задания

№1. На частном предприятии с численностью работников 70–а человек средний уровень выработки одного рабочего составляет 500+10a деталей в день при среднеквадратическом отклонении 16+a деталей. С целью корректировки среднего нормативного уровня выработки в сторону повышения администрацией была отобрана группа наиболее подготовленных рабочих и по ним установлен средний уровень выработки 580+9a деталей. Можно ли вводить новый нормативный уровень выработки, не опасаясь конфликтов с рабочими? Решить задачу при α=0,05 (a – номер варианта).

№2. Чтобы оценить производственную эффективность предложенной к внедрению технологии, проведена проверка качества продукции, выпущенной на старой и новой автоматических линиях, при этом получены следующие данные об удельном весе продукции высшего качества, в %:

Установить, действительно ли новая линия, налаженная на передовую технологию, позволяет получать более высокий уровень качества продукции. Решить задачу при α=0,005 (a – номер варианта).

№3. Для оценки существенности воздействия состояния окружающей среды на здоровье людей в районе с неблагоприятной экологической обстановкой проведены обследования 12 отобранных случайных групп населения и получены данные, представленные в таблице.

Известно, что средний по стране уровень продолжительности жизни составляет 69 лет, средняя заболеваемость онкологическими заболеваниями составляет 580 человек на 100 тыс. человек, средний уровень младенческой смертности равен 12%. Определить, действительно ли экологическая обстановка оказывает негативное влияние на уровень здоровья. Найти доверительные интервалы по первому и второму походам. Решить задачу при α=0,01 (a – номер варианта).

№4. Проверить существенность различий уровня эффективности работы предприятий двух отраслей А и Б по следующим данным (проверить гипотезы о равенстве векторов средних значений и равенстве ковариационных матриц):

Решить задачу при α=0,1.

№5.

Проверить, оказывает ли влияние на значения показателей муниципаль­ных районов Вологодской области наличие рядом расположенных городов.Проверку проводить для следующихе факторов, представленных в таблице.

Районы, расположенные рядом с городами: Великоустюгский, Вологодский, Грязовецкий, Сокольский, Череповецкий и Шекснинский.

Проверить гипотезы о равенстве средних значений в группах. Решить задачу при α=0,005.

№6.

Сравните вектора средних и ковариационные матрицы показателей Вологодской области с среднероссийскими значениями.

Найти доверительные интервалы по первому и второму подходам. Решить задачу при α=0,01.

№7. Проверить существенность различий показателей 1998 и 2007 годов:

Решить задачу при α=0,1.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: