|
Пример. Движение точки по горизонтальной плоскости
Исходные данные
№
| Fx,H
| Fy,H
| x0,м
| ,м/с
| y0,м
| ,м/с
| T1,с
|
| 8cos2t
| 12sin2t
| -2
| 0
| 0
| -6
| π/6
|
| 18sin3t
| 27cos3t
| 0
| -6
| -2
| 0
| π/6
|
| 8
| 0
| 2
| 2
| 0
| 4
| 1
|
| 0
| 12
| 3
| 6
| 3
| 0
| 1
|
| 18cos3t
| 0
| -2
| 0
| 0
| 3
| 2π/9
|
| 0
| 27sin3t
| 0
| 3
| 0
| -9
| 2π/9
|
| -4
| 0
| 3
| 0
| 0
| -5
|
|
| 0
|
| 0
| 4
| 4
| -8
| 1
|
|
|
| 0
| -
| -2
| 0
| 1
|
| -6
| -10
| 3
| 1
| 4
| 5/3
| 1
|
| 12 sin2t
| 8 cos2t
| 0
| -6
| -2
| 0
| π/3
|
| 27cos3t
| 18sin3t
| -2
| 0
| 0
| -6
| π/3
|
| 10-0,2vx
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
| 5
|
| 0
| 10-0.3vy
| 0
| 0
| 0
| 0
| 3
|
| -4sint
| 4cost
| 0
| 4
| -4
| 0
| π/6
|
| -0,2vx
| 0
| -50
| 10
| 0
| 0,2
| 10
|
| 0
| -0.3vy
| 0
| 0,3
| -30
| 9
| 10
|
| -6/(t+1)3
| 0
| -1
| 2
| 1
| 3
| 2
|
| -4x
| -4y
| 5
| 0
| 0
| 10
| π/6
|
| 4sint
| 0
| 2
| -4
| 0
| 1
| π/3
|
| 0
| 5sint
| 0
| 1
| 0
| -5
| π/6
|
| 5cost
| 0
| -5
| 0
| 0
|
| π/2
|
| 0
| 6cost
| 0
| 2
| -6
| 0
| 1
| Продолжение табл. 3.1
№
| Fx,H
| Fy,H
| x0,м
| ,м/с
| y0,м
| ,м/с
| T1,с
|
| 9x
| 9y
| 0
| 4
| 6
| 0
| 1
|
| -9x
| -9y
| 4
| 0
| 0
| 12
| π/6
|
| -2π2cosπt
| -2π2sinπt
| 2
| 0
| 0
| 2π
| 1/3
|
| 2t
| 3
| 1
| 2
| 3
| 2
| 1
|
| 4
| 3t
| 0
| 2
| 3
| 0
| 1
|
| 4t+1
| 8t+2
| 1
| 3
| 2
| 3
| 1
|
| 12cos2t
| 12sin2t
| -3
| 0
| 0
| -6
| π/6
|
| 27sin3t
| 27cos3t
| 0
| -9
| -3
| 0
| 1
|
| 5t+2
| 10t+4
| 2
| 1
| 2
| 1
| 0,5
|
| 2
| 0
| 2
| 2
| 1
| 2
| 1
|
| 0
| 6
| 2
| 3
| 1
| 0
| 1
|
| 2еt
| 12е2t
| 2
| 2
| 3
| 6
| 1
|
| 4sin2t
| 8cos2t
| 0
| -2
| -2
| 0
| π/6
|
| -4cos2t
| 8sin2t
| 1
| 0
| 0
| -4
| π/6
|
|
|
|
|
|
|
|
| №
| Fx,H
| Fy,H
| x0,м
| ,м/с
| y0,м
| ,м/с
| T1,с
|
| 4 е2t
| 8 еt
| 1
| 2
| 8
| 8
| 1
|
| 5е2t
| 0
| 5/4
| 5/2
| 1
| 2
| 1
|
|
|
| 0
|
| -2
| 0
| 1
|
| 3t
| 6t
| 3
| 0
| 6
| 0
| 1
|
| -8sin2t
| 4cos2t
| 0
| 4
| -1
| 0
| π/6
|
|
|
| 0
|
| -2
| 0
| 1
|
| 12t
| 0
| 2
| 0
| 1
| 2
| 1
|
| 16e2t
| 4et
| 4
| 8
| 4
| 4
| 1
|
| -16sin2t
| 0
| 0
| 8
| 1
| 2
| π/6
|
| -8cos2t
| 12sin2t
| -2
| 0
| 0
| -6
| π/6
|
| 18sin3t
| -27cos3t
| 0
| -6
| 2
| 0
| π/6
|
| 12
| 0
| 2
| 2
| 0
| 4
| 1
|
| 0
| -0.2vy
| 0
| 0,3
| -30
| 9
| 10
|
| 10-0,1vx
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
| 5
|
| 0
| 16
| 3
| 6
| 3
| 0
| 1
|
| 4sin2t
| -8cos2t
| 0
| -2
| -2
| 0
| π/6
|
| -18/(t+1)3
| 0
| -3
| 6
| 3
| 3
| 2
|
| -0,2vx
| 0
| -50
| 10
| 0
| 0,2
| 10
|
| 0
|
| 0
| 4
| 4
| -4
| 1
|
| 16e2t
| -4et
| 4
| 8
| -4
| -4
| 1
|
| 8
| 0
| 2
| 2
| 0
| 4
| 1
|
| 0
| -0.3vy
| 0
| 0,3
| -30
| 9
| 10
|
| 10-0,2vx
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
| 5
|
| 3t
| 6t
| 3
| 0
| 6
| 0
| 1
|
| 8cos2t
| -12sin2t
| -2
| 0
| 0
| 6
| π/6
|
| 0
| 6-0,3vy
| 0
| 0
| 0
| 0
| 4
|
| -6/(t+1)3
| 0
| -1
| 2
| 1
| 3
| 2
|
| 9x
| 9y
| 0
| 4
| 6
| 0
| 1
|
| 0
| 12
| 3
| 6
| 3
| 0
| 1
|
| 4sin2t
| -8cos2t
| 0
| -2
| 2
| 0
| π/6
|
| -18sin3t
| 27cos3t
| 0
| -6
| -2
| 0
| π/6
|
| -0,15vx
| 0
| -50
| 10
| 0
| 0,2
| 10
|
| -2π2cosπt
| -2π2sinπt
| 2
| 0
| 0
| 2π
| 1/3
| Окончание табл. 3.1
№
| Fx,H
| Fy,H
| x0,м
| ,м/с
| y0,м
| ,м/с
| T1,с
|
| 0
|
| 0
| 4
| 2
| -1
| 1
|
| 24e2t
| 3et
| 6
| 12
| 3
| 3
| 1
|
| 5
| 0
| 2
| 2
| 0
| 4
| 1
|
| 3t
| 6t
| 3
| 0
| 6
| 0
| 1
|
| 10-0,2vx
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
| 5
|
| 12sin2t
| 16cos2t
| 0
| -6
| -4
| 0
| π/6
|
| 0
| 11
| 3
| 6
| 3
| 0
| 1
|
| -4sin2t
| -8cos2t
| 0
| 2
| 2
| 0
| π/6
|
| 5е2t
| 0
| 5/4
| 5/2
| 1
| 2
| 1
|
| 8
| 0
| 2
| 2
| 0
| 4
| 1
|
| 25x
| 25y
| 0
| 4
| 6
| 0
| 1
|
| 18
| 0
| 0
| 0
| 2
| 3
| 1
|
| -0,25vx
| 0
| -50
| 10
| 0
| 0,2
| 10
|
| 12t
| 6t
| 0
| 0
| 0
| 0
| 1
|
| 0
| -0.3vy
| 0
| 0,3
| -30
| 9
| 10
|
| 0
| 12
| 3
| 6
| 3
| 0
| 1
|
| 8e2t
| 4et
| 2
| 4
| 4
| 4
| 1
|
| -2π2cosπt
| -2π2sinπt
| 2
| 0
| 0
| 2π
| 1/3
| №
| Fx,H
| Fy,H
| x0,м
| ,м/с
| y0,м
| ,м/с
| T1,с
|
| -8cos2t
| -12sin2t
| -2
| 0
| 0
| -6
| π/6
|
| 3x
| 3y
| 0
| 3
| 2
| 0
| π/6
|
| 4
| 0
| 2
| 2
| 0
| 4
| 1
|
| -4sin2t
| 8cos2t
| 0
| 2
| -2
| 0
| π/6
|
| -6/(t+1)3
| 0
| -1
| 2
| 1
| 3
| 2
|
| 16x
| 16y
| 0
| 4
| 6
| 0
| 1
|
| -18sin3t
| -27cos3t
| 0
| 6
| 3
| 0
| π/6
|
| 5е2t
| 0
| 5/4
| 5/2
| 1
| 2
| 1
|
| 16-0,2vx
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
| 5
|
| -4sin2t
| -12cos2t
| 0
| -2
| -6
| 0
| π/6
|
| 0
| 10
| 3
| 6
| 3
| 0
| 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Движение точки по горизонтальной плоскости
Материальная точка (рис. 3.1) массой 2 кгдвижется по горизонтальной плоскости под действием силы , где i и j-орты осей координат Ox и Oy. При t = 0положение точки определяется координатами: , а проекции скорости на координатные оси соответственно равны .
Определить, пренебрегая трением, уравнения движения точки. Построить траекторию, указать на ней положение точки, найти скорость, касательное, нормальное, полное ускорения точки и радиус кривизны при t = 0,25 с.
Решение. На точку, находящуюся на горизонтальной плоскости, действуют сила тяжести , реакция плоскости и сила . Запишем дифференциальные уравнения движения точки
Найдем проекции действующих сил на оси х и у. Сила тяжести и реакция опорной плоскости параллельны оси z, поэтому их проекции на указанные оси координат равны нулю. Проекции силы на оси координат равны:
,
где .
Дифференциальные уравнения точки принимают вид:
Подставим m =2и получим
или (3.1)
Уравнения (3.1) – однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка.
Решаем первое уравнение. Составляем характеристическое уравнение
.
Корни этого уравнения .
Так как корни характеристического уравнения действительные и равные , то решение уравнения (а) имеет вид:
Аналогично решаем второе уравнение. Соответствующее ему характеристическое уравнение также имеет действительные и равные корни .
Решение второго уравнения имеет вид:
.
Итак, движение точки по плоскости ху описывается уравнениями
, (3.2)
где С1, С2, С3, С4 – постоянные интегрирования.
Определим из этих уравнений проекции скорости точки на оси координат:
(3.3)
Постоянные интегрирования найдем из начальных условий движения точки: . Подставим начальные условия в уравнения (3.2), (3.3) и получим:
Подставляя эти значения в (3.2) и (3.3), получим окончательно уравнения движения точки и значения проекций скорости точки на оси координат:
(3.4)
(3.5)
Определим уравнение траектории точки. Уравнения (3.4) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Для того чтобы получить уравнение траектории точки в координатной форме, исключим t из этих уравнений, получим . Траекторией точки является парабола, вершина которой находится в начале координат. Точка движется по правой ветви параболы и при t1=0,25 c, ее координаты равны: x1 = 1,6 м; у1= 1,33 м.
Проекции скорости на оси координат определяются уравнениями (3.5). При t1 = 0,25 c, .
Модуль скорости , V1=6,6 м/c.
Проекции ускорения найдем, дифференцируя по времени уравнения (3.5).
При t=0,25 c, ax=6,4м/c2, ay=21,6м/c2.
Модуль ускорения = , a1 =22,5 м/c2.Модуль касательного ускорения при t 1 равен
.
Модуль полного ускорения выразим через нормальное и касательное ускорения:
.
Отсюда находим нормальное ускорение в заданный момент времени:
.
Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из формулы нормального ускорения . Отсюда .
На рис. 3.2 показано положение точки М в заданный момент времени t1 =0,25 c. В этот момент х=1,6 м, у=1,33 м. Вектор строим по его проекциям и . Вектор строим по проекциям и , и затем раскладываем на составляющие и .
Задание Д2. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы
Механизм начинает двигаться из состояния покоя под действием заданных сил: постоянной силы F, постоянного вращающего момента Мвр и сил тяжести. Сила и момент действуют на одно из тел, как показано на рис. 3.3. Зная массы тел m1, m2, m3, m4; радиусы r и R малых и больших окружностей колёс; радиусы инерции ступенчатых колёс ρ, определить какую скорость будет иметь тело 1 после того, как оно переместится на расстояние S=3 м. Коэффициент трения скольжения для всех вариантов, где груз скользит по плоскости, f=0,05. Сопротивлением качению пренебречь. Качение колёс происходит без скольжения. Численные значения всех величин даны в табл. 3.2.
Пример. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы Механизм движется из состояния покоя (см. рис. 3.3). Определить скорость тела 1 после его перемещения на расстояние S=0,5 м. Дано: массы тел m1=10 кг, m2=30 кг, m3=15 кг, m4=20 кг,радиусы колёс r2=0,2 м, R2=0,4 м, r3=0,25 м, r4=0,25 м, радиус инерции тела 2 ρ2=0,25 м, сила F=100 Н, Мвр=20 м.
Решение. Кинематика механизма. Выразим основные кинематические параметры звеньев механизма через искомую скорость v1. На рис. 3.4 изображена кинематическая схема. Из рис. 3.4 видно, что тело 1 движется поступательно, тела 2 и 3 вращаются, а тело 4 движется плоскопараллельно. Угловая скорость колеса 2 определяется из условия равенства скоростей точек контакта звеньев 1 и 2.
V1=ω2·r2 ω2= . (3.6)
Из аналогичного условия равенства скоростей точек контакта колёс 2 и 3 находим угловую скорость колеса 3. Так как ω2·R2= ω3·r3, то
ω3= . (3.7)
Рис. 3.4
Схемы механизмов
Таблица 3.2
Исходные данные
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|