Точечно-векторное аффинное пространство

Линейные пространства. Определение

Опр.Множество X называется линейным пространством над полем K, если:

1. Существует закон, который позволяет каждым двум элементам , поставить в соответствие элемент , называемый суммой и обозначаемый

2. Существует закон, который позволяет каждому элементу и каждому числу поставить в соответствие элемент , называемый «произведением элемента на число » и обозначаемый

3. Законы, введенные в X, удовлетворяют следующим аксиомам:

1. ,

2. ,

4. :

8. , где 1 — единица поля K.

Элементы пространства X обычно называют векторами, элемент — нулевым вектором, элемент — противоположным (обратным) к вектору .

Из определения непосредственно вытекают следующие элементарные свойства линейного пространства:

1. В любом линейном пространстве существует единственный .

2. В любом линейном пространстве для каждого элемента существует единственный противоположный элемент.

3. Для всякого вектора

4. Для всякого вектора

4.1. Сист координат в пространстве

Если в пространстве V_n зафиксировать некоторую точку O, то в силу свойств 1 и 2 между всеми остальными точками и векторами устанавливается взаимно однозначное соответствие. Вектор называется радиус-вектором точки А относительно т O.

Опр.Системой координат в пространстве V_n, называется совокупность фиксированной точки O и некоторого базиса в V_n.

Координатами вектора в заданной системе координат пространства V_n называются координаты вектора относительно базиса .

Координатами точки А в данной системе ко-
ординат пространства V_n называются координаты радиус-вектора точки относительно базиса.

Всякие два базиса пространства V_n и связаны между собой формулами перехода где вектор-столбцы матриц перехода и состоят из координат векторов и соответственно в базисах и .

Если даны две системы координат O, и , , то координаты любой точки и относительно этих систем координат связаны соотношениями

, где – координаты точки в – матрица перехода.

Подпространства линейного пространства

Опр.Всякое подмножество L линейного пространства X, заданного над полем K, которое, в свою очередь, является линейным пространством, называется линейным подпространством.

Для того, чтобы подмножество L линейного пространства X являлось линейным подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

2. и

Опр.Пусть M – подмножество векторов пространства X. Совокупность всех линейных комбинаций векторов из М называется линейной оболочной L(M) векторов М.

Всякая линейная оболочка является линейным подпространством. Размерность линейной оболочки L(M), натянутой на векторы множества M, равна числу линейно независимых векторов данного множества.

Опр.Суммой L двух подпространств L₁ и L₂ одного и того же пространства X называется множество векторов вида , где и . Обозначается .

Сумма линейных подпространств сама является линейным подпространством.

Опр.Пересечением L линейных подпространств L₁ и L₂ называется совокупность векторов, принадлежащих одновременно L₁ и L₂. Обозначается .

Пересечение линейных подпространств также является линейным подпространством.

Опр.Прямой суммой L двух подпространств L₁ и L₂ называется сумма этих подпространств при условии, что их пересечение состоит лишь из нулевого вектора. Обозначается .

Размерности суммы и пересечения подпространств L₁ и L₂ связаны между собой следующим соотношением

Точечно-векторное аффинное пространство

Опр.Пусть некоторое множество состоит из элементов двух типов, которые будем называть «точками» и «векторами». Пусть при этом множество векторов образует n-мерное линейное пространство, а множество точек не пусто.

Множество называется точечно-векторным аффинным пространством, если:

1. Каждая пара точек А₁ и A₂, заданных в определенном порядке, определяет единственный вектор .

2. Для каждой точки А₁, и каждого вектора существует единственная точка A₂, такая, что .

3. Если и , то .

Пространство называется n-мерным, если n-мерно соответствующее линейное пространство.

4.2.Прямая и плоскость в V_n

Опр.Пусть в аффинном пространстве V_n заданы собственное подпространство L и фиксированный вектор .Множество

называется плоскостью в V_n. Размерностью плоскости X называется размерность соответствующего подпространства .

Одномерная плоскость пространства V_n называется прямой линией.

Плоскость размерности называется гиперплоскостью.

Две плоскости называются совпадающими, если они состоят из одних и тех же точек (векторов) пространства; в противном случае они называются несовпадающими.

Множество точек n-мерного пространства, принадлежащих как плоскости X₁, так и плоскости X₂, называется их пересечением, а сами плоскости X₁ и X₂ пересекающимися, если .

Две несовпадающие плоскости и , полученные сдвигом одного и того же подпространства L, называются параллельными.

Из определения плоскости следует, что всякая плоскость является линейным многообразием.

Всякая k-мерная плоскость может быть задана либо параметрическим уравнением

,

где — базис в L, — произвольные числа, либо как линейное многообразие системой линейных неоднородных уравнений

ранга n-k, где — координаты вектора .

В частности, всякая прямая задается либо системой линейных уравнений ранга , либо параметрическим уравнением

где — направляющий вектор прямой, λ — параметр. Если и — радиус-векторы двух точек прямой, то можно записать уравнение прямой, проходящей через две данные точки

,

Наконец, в координатной форме можно записать каноническое уравнение прямой

,

где — координаты точки , — координаты некоторой фиксированной точки прямой; -координаты направляющего вектора прямой.

Всякая гиперплоскость задается одним линейным уравнением

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.