Основные свойства определенного интеграла

1. Определенный интеграл с равными пределами равен нулю:

.

1. При перемене местами пределов интегрирования величина определенного интеграла изменяется на противоположную:

.

3. Если отрезок интегрирования разделен на конечное число n частичных отрезков , то определенный интеграл от функции на отрезке равен сумме определенных интегралов от этой функции на каждом из частичных отрезков (свойство аддитивности):

.

4. ,

где - постоянный множитель.

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций, интегрируемых на отрезке , равен алгебраической сумме определенных интегралов этих функций на данном отрезке:

.

Величина определенного интеграла от функции , непрерывной на отрезке , равна приращению любой из первообразных для этой функции на данном отрезке:

, (23)

Формула (23) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Из этой формулы следует, что для вычисления определенного интеграла достаточно найти какую-либо из первообразных для подынтегральной функции и из ее значения, соответствующего верхнему пределу интегрирования, вычесть значение, соответствующее нижнему пределу.

Пример 9. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Первообразной для функции (имеющей наиболее простой вид), является . Поэтому в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница имеем .

Основные методы вычисления определенных интегралов

Метод разложения (непосредственного интегрирования)

Этот метод основан на использовании свойств определенного интеграла, знании формул простейших неопределенных интегралов и применении формулы Ньютона-Лейбница.

Пример 10. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Воспользуемся свойствами (3) и (4) определенных интегралов:

.

Первообразные для подынтегральных функций найдем с помощью формул простейших определенных интегралов. Далее, используя формулу Ньютона-Лейбница, получим

.

Метод замены переменной (метод подстановки)

Этот метод основан на замене переменной интегрирования в определенном интеграле с целью свести его вычисление к вычислению такого определенного интеграла, который может быть вычислен методом разложения.

Пример 11. Вычислить интеграл .

Решение. Введем новую переменную ; Тогда , откуда .

При замене переменной интегрирования в определенном интеграле необходимо одновременно заменить пределы интегрирования на соответствующие . Имеем: при , при . Отсюда следует, что новым нижним пределом интегрирования будет значение 2, а новым верхним – значение 6. Таким образом

.

Замечание. Если при замене переменной в неопределенном интеграле мы от новой переменной возвращались к первоначальной переменной , то при замене переменной в определенном интеграле в этом нет необходимости.

Метод интегрирования по частям

Этот метод основан на использовании следующей формулы интегрирования по частям:

, (24)

где и - непрерывно дифференцируемые функции на отрезке .

Пример 12. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Данный интеграл не может быть вычислен непосредственно ни методом разложения, ни методом замены переменной. Положим . Найдем отсюда . Тогда

Некоторые приложения определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур

Применение определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур основано на геометрическом смысле определенного интеграла: площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f (x), осью абсцисс и прямыми линиями x = a и x = b , численно равна определенному интегралу от этой функции на отрезке :

.

Если плоская фигура ограничена прямыми x=a , x=b (a<b) и кривыми y=f₁(x) , y=f₂(x) , причем f₁(x)<f₂(x) (a<x<b) , то ее площадь вычисляется по формуле:

, (25)

В частном случае, когда плоская фигура ограничена снизу осью OX, формула (25) упрощается:

, (26)

Пример13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми (рис.5) и .

Рис.5

Решение. Найдем точки пересечения кривых : , следовательно . Отсюда , и по формуле (25) имеем

Работа переменной силы

Сравнивая формулу (4) с формулой (5) для определенного интеграла, приходим к выводу, что работа переменной силы f(x), действующей на материальную точку при перемещении ее из точки x=a в точку x=b, численно равна определенному интегралу от этой силы на отрезке :

, (27)

Пример 14. Найти величину работы, которую необходимо совершить для растяжения пружины от положения равновесия на величину l=0,1 м, если коэффициент упругости пружины k=200 Н/м.

Решение. В соответствии с законом Гука для растяжения пружины на величину x необходимо приложить силу f(x)=kx.

Подставляя это выражение в (27) , получим зависимость работы А приложенной силы от растяжения l пружины:

.

Подставив в эту формулу численные значения, окончательно получим:

.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: