Свойства арифметических операций для транспонированных матриц.

1) . 2) . 3) . {Слева – строки А на столбцы В и транспонирование. Справа – столбцы В на строки А , т.е. уже транспонированная.}

§3.Определитель квадратной матрицы и его свойства.

Одной из важнейших характеристик квадратных матриц является ее определитель или детерминант: . Дадим рекуррентное определение этого понятия.

1) Определитель второго порядка равен:

2) Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

Таким образом, вычисление определителя третьего порядка свелось к вычислению трех определителей второго порядка. Каждый из них получается вычеркиванием строки и столбца, которые содержат элемент, стоящий перед этим определителем. Знаки перед слагаемыми вычисляются по формуле , где i и j − индексы этого элемента. Данная формула называется разложением определителя по первой строке. Определитель четвертого порядка выражается по этому же правилу через определители третьего порядка и так далее.

Утверждение. Определитель может быть разложен по любой строке или столбцу {б/д}.

Перечислим без доказательства основные свойства определителей.

Столбцы и строки определителя равноправны. Следствие:
Определитель, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.
Постоянный сомножитель любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
Если к любой строке (столбцу) определителя прибавить любую другую строку (столбец), умноженную на произвольное число, то определитель не изменится.
Если одна из строк (столбцов) линейно выражается через остальные, то определитель

равен нулю.

Если поменять местами две строки (столбца), то определитель изменит знак.
det(E) = 1.
(определитель произведения равен произведению определителей)
Определитель диагональной и треугольных матриц равен произведению диагональных элементов.

Определение.Матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной.

§4.Миноры и ранг матрицы.

Рассмотрим матрицу . Выберем k произвольных строк и k произвольных столбцов этой матрицы ( ).

Определение 1.Минором k – го порядка матрицы А (обозначается М_k) называется определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении выбранных k строк и столбцов матрицы А.

Определение 2. Рангом матрицы А (rang(A)) называется максимальный порядок минора, отличного от нуля. Т.е., rang(A) = r, если 1) , 2) Любой минор,

имеющий порядок r, называется базисным минором матрицы А. (Из определения сразу следует, что )

Строки и столбцы матрицы А, на которых строится базисный минор, так же называются базисными.

Имеет место очень важное утверждение:

Теорема о базисном миноре. Любая строка (столбец) матрицы А является линейной комбинацией базисных строк (столбцов). {б/д}

Любую матрицу можно рассматривать как упорядоченную систему из m n – мерных или n m – мерных векторов. Теорема о базисном миноре позволяет доказать следующую фундаментальную теорему:

Теорема 1. Ранг матрицы равен рангу системы векторов, составляющих эту матрицу.

{Для определенности рассмотрим систему строк матрицы (S). Выберем произвольный

базисный минор M_r . По предыдущей теореме любая строка матрицы, не принадлежащая

базисным, линейно выражается через базисные. Следовательно, ее можно исключить из

системы не изменив ранг самой системы (Введение, §4,Т.1). Отсюда получаем, что

rang(S) ≤ r. Но, если ранг будет строго меньше r, то одна из строк базисного минора будет линейной комбинацией остальных и M_r = 0 (§3,св.5), что противоречит условию. Таким образом – rang(S) = rang(A)}

Следствием Т.1для квадратных матриц является обобщение свойства 5 §3:

Теорема 2.Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

{Необходимость. Пусть det(A_n) = 0 r < n одна из строк – линейная комбинация остальных строки линейно зависимы.

Достаточность. Строки линейно зависимы одна из строк – линейная комбинация остальных. По свойству 5§3 det(A_n) = 0 (Вычтем эту линейную комбинацию из рассмотренной строки и получим определитель с нулевой строкой)}

§5.Вычисление ранга матрицы.

Для вычисления ранга матрицы используется два метода.

I. Метод окаймляющих миноров.

Определение 1.Окаймляющими минорами некоторого фиксированного минора называются все миноры, полученные добавлением к нему дополнительного столбца и дополнительного строки данной матрицы ( ).

Метод заключается в отыскании произвольного отличного от нуля минора и вычисления всех миноров, его окаймляющих. Если все эти миноры равны нулю, то ранг матрицы равен рангу исходного минора. В противном случае операция повторяется. Обоснованием метода служит

Теорема 1.rang(A) = r, если {б/д}

II. Метод элементарных преобразований.

Определение 2.Элементарными преобразованиями называются следующие:

1. Перестановка двух строк (столбцов).

2. Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля.

3. Прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на число.

Теорема 2. Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.

{При указанных преобразованиях любой минор матрицы (как обычный определитель) может изменить свое значение только следующим образом: }

Определение 3.Матрица В, полученная из А элементарными преобразованиями, называется

эквивалентной А ( ).

Определение 4.Первый ненулевой элемент строки будем называть отмеченным.

Определение 5.Матрица называется ступенчатой, еслиотмеченныйэлемент каждой строки

расположен правее отмеченногоэлемента предыдущей.

Теорема 3.Любая матрица приводится к ступенчатому виду элементарными преобразованиями.

{Доказательство носит конструктивный характер и будет продемонстрировано на примере}

Пример. Привести матрицу к ступенчатому виду.

(в рамках −отмеченные элементы матрицы) Алгоритм может быть применен к любой матрице.

Теорема 4. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.

{Снова продемонстрируем на том же примере: rang(A) = 3; в качестве базисного минора возьмем

минор, составленный из строк 1,2,3 и столбцов 1,2,4: }

§6.Обратная матрица.

Для квадратной матрицы важную роль играет понятие обратной матрицы.

Определение 1.Матрицей, обратной матрице А (обозначается ), называетсяматрица, удовлетворяющая условию: .

Теорема 1. Обратная матрица (если она существует) − единственна.

{Пусть у матрицы А есть 2 обратных: В и С. Рассмотрим произведение ВАС:

ВАС = (ВА)С = ЕС = С. С другой стороны ВАС = В(АС) = ВЕ = В. Отсюда В = С}

Для вычисления обратной матрицы необходимо ввести еще несколько понятий.

Легко заметить, что минор (n – 1) − го порядка у квадратной матрицы А_n можно определять, не задавая строки и столбцы, а, указав один элемент , вычеркнуть i−ю строку и j−ый столбец, на пересечении которых он находится. Поэтому минор М_п−₁ матрицы А_п обычно обозначают .

Определение 2.Алгебраическим дополнением элемента называется величина .

Из определения детерминанта матрицы A_n сразу следует, что определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на алгебраические дополнения этой строки (столбца): ………………………………………….(*)

С другой стороны, …………….(**)

Т.е. сумма произведений элементов любой строки (столбца) на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна нулю. {Фактически, мы получаем определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами)}

Определение 3. Транспонированная матрица из алгебраических дополнений называется присоединенной матрицей: .

Теорема 2.

{При умножении k −ой строки А на k − ый столбец получается det(A) (*), при умножении на любой другой столбец получается ноль (**) }

Следствие.

Пример. Найти обратную матрицу для . {

.(проверка)}

Замечания. 1. Полезно запомнить, что обратная матрица второго порядка получается из исходной следующим образом: элементы главной диагонали меняются местами, у элементов второй диагонали изменяется знак. Полученная матрица делится на определитель.

2. Обратная матрица может быть получена с помощью элементарных преобразований. Для этого составляется матрица и левая часть элементарными преобразованиями приводится к единичной. При этом матрица Е преобразуется в обратную {б/д}. Последний пример:

; .

Свойства обратной матрицы.

1. { (св.7,8 §3) }

3. {Из определения следует, что А и − взаимно обратные матрицы.}

В заключение докажем критерий существования обратной матрицы:

Теорема 3.Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда А − невырожденная матрица, т.е.

{1. Пусть существует. Т.к. она равна присоединенной матрице, деленной на определитель, то последний не равен нулю. 2. Пусть По Сл.Т.2 обратную матрицу можно вычислить.}

§7.Решение матричных уравнений.

Использование обратных матриц позволяет решать простые матричные уравнения относительно квадратных матриц. Рассмотрим пример одной из таких задач. Решить уравнение AXB + C = D, где − неизвестная матрица.

Матрица Х равна: Пользуясь замечанием 1 предыдущего параграфа, имеем:

Замечание. Так как умножение матриц не коммутативно, необходимо внимательно смотреть за тем, с какой стороны следует умножать правую часть на обратные матрицы.

§8. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Определение 1. Система уравнений называется системой m

линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (сокращенно СЛАУ).

Такая запись уравнений носит название координатной формы записи.

Более компактной записью является матричная форма. Нетрудно видеть, что левая часть системы представляет собой вектор, полученный умножением матрицы системы на вектор

неизвестных . В правой части получается вектор правых частей (оба вектора – столбцы). Использование этой закономерности позволяет записывать системы в более компактном виде:

− матричная форма записи. В случае невырожденной квадратной матрицы решение

системы может быть записано в виде

Рассмотрим еще несколько общих понятий, относящихся к СЛАУ.

Определение 2. СЛАУ называется совместной, если у нее существует хотя бы одно решение.

Если решений не существует, система называется несовместной.

Определение 3. СЛАУ, вектор правых частей которой равен нулю: = 0, называется

однородной. В противном случае система называется неоднородной.

Для однородных СЛАУ имеют место несколько общих утверждений.

Теорема 1.Однородная СЛАУ всегда совместна.

{Нулевой вектор всегда является решением однородной СЛАУ}

Теорема 2.Множество решений однородной СЛАУ образует линейное пространство.

{Пусть − решения системы , т.е. их линейная комбинация тоже решение. Выполнение аксиом − очевидно.}

Замечание. Пространство решений однородной СЛАУ является, очевидно, подпространством линейного пространства n – мерных векторов .

§9. Квадратные СЛАУ. Правило Крамера.

Рассмотрим вначале СЛАУ с квадратной матрицей А − число уравнений равно числу неизвестных:

Правило Крамера.

Обозначим определитель матрицы буквой d , а определители матриц, полученных из А заменой k – го столбца столбцом правых частей через d_k .

Теорема(правило Крамера). Если определитель матрицы системы , то система имеетединственное решение, которое может быть получено по формулам:

{ – аналогично. Единственность − от противного.}

§10.Критерий совместности СЛАУ. Теорема Кронекера – Капелли.

Вернемся к общим СЛАУ . Введем еще одно понятие.

Определение.Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных и столбца правых частей, называется расширенной матрицей системы: .

Теорема(Кронекера – Капелли). СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу исходной матрицы системы, т.е. .

{1. Система совместна. Правая часть есть линейная комбинация столбцов матрицы, коэффициенты которой равны координатам вектора решения. Т.е. .

2. . Следовательно, в качестве базисного минора расширенной матрицы можно взять базисный минор матрицы А. По теореме о базисном миноре (§4) правые части равны линейной комбинации базисных столбцов матрицы. В качестве решения можно взять коэффициенты этой линейной комбинации.}

§11.Общее решение СЛАУ.

Определение.Множество решений системы линейных алгебраических уравнений

называется общим решением этой системы. Т.е. любой вектор этого множества есть решение и любое решение этой системы принадлежит указанному множеству.

Из §8 следует, что общим решением однородной системы является некоторое подпространство пространства . Для неоднородной системы это не так: общее решение неоднородной системыне образует линейного пространства.

{Нулевой вектор (0,0,…,0) не является решением исходной системы.}

Итак, дана совместная система , матрица которой имеет ранг равный r. Для простоты будем считать, что базисный минор матрицы находится в левом верхнем углу (этого всегда можно добиться перестановкой строк и изменением нумерации неизвестных). Оставим первые r уравнений системы и перенесем неизвестные в правую часть. Если теперь дать этим неизвестным произвольные фиксированные значения, то по Т. Крамера полученная система будет иметь единственное решение (определитель системы = базисному минору ≠ 0). Это решение (вместе с ) является решением исходной системы, так как все строки расширенной матрицы (по критерию Кр. – К. ) есть линейные комбинации базисных.

Можно показать, что любое решение может быть получено таким же образом. Достаточно взять из предложенного решения и первые неизвестные определятся однозначно по теореме Крамера. Тем самым, указанный метод позволяет получить общее решение системы.

В общем случае базисного минора будем называть неизвестные, не входящие в базисный минор, свободными, а, входящие в него – зависимыми.

На практике матрицу системы сначала приводят к ступенчатому виду, затем выбирают базисный минор и , таким образом, зависимые и свободные неизвестные. При этом, желательно все преобразования производить только со строками, чтобы сохранить нумерацию неизвестных. После этого зависимые переменные выражают через свободные и записывают общее решение.

Рассмотрим на примере данный алгоритм и сделаем несколько общих выводов.

Пусть .

Последняя формула, вообще говоря, дает общее решение данной системы при произвольных значениях с₃ и с₄ . Более удобной является векторная форма записи:

Из этого примера можно вывести несколько важных общих закономерностей.

I. Ранг системы решений (S(x)) равен числу свободных неизвестных, т.е. rang(S(x)) = n – r, где

n – количество неизвестных, а r – ранг матрицы системы (В примере: n = 4, r = 2, rang(S) = 2).

Обычно, свободные неизвестные для каждого из решений выбираются следующим образом

(для простоты будем считать зависимыми, а − свободными):

для решения

…………………………………………………

для решения

Легко видеть, что полученные решения 1) линейно независимы и 2) любое решение системы будет их линейной комбинацией.

II. Вектор является частным решением неоднородной системы при с₃ = с₄ = 0, а векторы линейно независимыми решениями соответствующей однородной системы уравнений. Совокупность линейных комбинаций векторов

описывает всю линейную оболочку решений однородной системы, т. е. − общее решениеоднородной системы уравнений.

III. Общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения однородной системы

и частного решения неоднородной:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: