Пусть номер зачетной книжки 1298.

Введение

В настоящих методических указаниях представлены задачи по темам: линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия. Методические указания содержат решения типовых примеров, варианты расчетно-графических заданий и список рекомендуемой литературы.

Перед выполнением РГР студент должен изучить соответствующие разделы литературы и воспользоваться решениями типовых примеров, содержащихся в настоящих методических указаниях.

Номер варианта по каждому заданию кроме второго студент выбирает по формуле ,

где - номер варианта,

-номер задания,

-предпоследняя цифра зачетной книжки студента,

-последняя цифра зачетной книжки студента.

Пример.

Пусть номер зачетной книжки 1235, тогда:

номер варианта первого задания: = ;

номер варианта второго задания: ;

номер варианта третьего задания: ;

номер варианта четвертого задания: .

Таким образом, студент, имеющий зачетную книжку № 1235 должен решать задачу №8 в первом задании, №11 – во втором, №14 – в третьем, №17 – в четвертом.

Если итоговая цифра по формуле получится число больше 20, то для определения варианта от полученной цифры отнимают 20.

Пример.

Пусть номер зачетной книжки 1298.

Номер варианта второго задания: . Промежуток 26-20=6. Таким образом, во втором задании студент решает задачу вариант №6.

Пример 1.

Найти уравнение и длину перпендикуляра, опущенного из точки С(1;2) на прямую 3х – 4у + 2 =0.

Решение:

Через точку С проведем пучок прямых:

Угловой коэффициент «к» найдем из условия перпендикулярности прямых , для чего прежде найдем угловой коэффициент заданной прямой.

тогда .

Подставим найденное значение в уравнение пучка прямых.

уравнение перпендикуляра.

Длину этого перпендикуляра найдем по формуле:

где

- координаты точки С.

В нашем случае это будет:

Пример 2.

Найти: а) уравнение медианы АЕ; б) прямой, проходящей через точку Е, параллельно стороне АВ в треугольнике с вершинами в точках А(-3;0),В(2;5) и С(4;3).

Решение:

а) Найдем координаты точки Е – середины отрезка ВС по формулам:

Е(3;4).

Уравнение медианы найдем, используя уравнение прямой, проходящей через две точки.

Подставим в него координаты точек А и Е:

.

б) Прежде, чем ответить на вопрос задачи, найдем уравнение стороны АВ, как прямой, проходящей через две точки. Затем через точку Е проведем пучок прямых, подчинив его условию параллельности прямых.

; .

Пучок прямых,. проходящих через точку Е: у-4=к (х-3).

Условие параллельности прямых . Подставим это значение «к» в уравнение пучка, у-4=х-3, или у=х+1.

Пример 3.

Найти площадь треугольника, образованного двумя векторами и

, выходящими из одной точки.

Решение.

Площадь треугольника, построенного на векторах и , равна половине площади параллелограмма, построенного на этих же векторах как на сторонах, т.е. равна модуля векторного произведения векторов и :

.

Векторное произведение найдем по формуле:

Найдем модуль полученного вектора, используя формулу:

Тогда искомая площадь будет:

(кв.ед.)

Пример 4.

Найти объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах:

.

Решение:

Объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах как на ребрах, равен

, где ,

где -смешанное произведение векторов.

Величину найдем по формуле :

=

Тогда (куб.ед.).

Пример 5.

Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки А(1,2,5) и В(0,1,2).

Решение:

Подставив координаты точек А и В в уравнение (3.1.13), получим:

; ; .

Пример 6.

Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки: А(1, 2, 3);

В(1, 1, 0) и С(2, 3, 1).

Решение:

Используя уравнение , получим:

(х-1) ,

Пример 7.

Через точку А(1, 0, 2) провести прямую, перпендикулярную плоскости

Решение.

Используем канонические уравнения прямой , подставив координаты точки А, получим:

.

Проекции направляющего вектора прямой найдем из условия перпендикулярности прямой и плоскости .

В нашем случае это будет: , тогда будем иметь: .

Задания.

Задание 1. Найти матрицу Х. Сделать проверку.

1.1. x× .

1.2 . x× .

1.3 . x× .

1.4. x× .

1.5. x× .

1.6. x× .

1.7. x* .

1.8. x* .

1.9. x* .

1.10. x* .

1.11. x* .

1.12. x* .

1.13. x* .

1.14. x* .

1.15. x* .

1.16. x* .

1.17. x* .

1.18. x* .

1.19. x* .

1.20. x* .

Задание 2. две последние цифры зачетки.

Решить систему уравнений:

.

тремя способами:

а) методом Крамера;

б) методом Гаусса;

в) с помощью обратной матрицы.

Задание 3. Решить задачу.

3.1. Даны вершины тетраэдра А(2;3;1); В(4;1;-2); С(6;3;7); Д(-5;-;8). Найти длину его высоты, опущенной из вершины Д.
Найти скалярное произведение векторов .

3.2. Разложить вектор = по взаимно перпендикулярным ортам , образующим правую тройку.

3.3. Вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах , где - взаимно перпендикулярные орты.

3.4. Зная векторы, образующие треугольник ; ; , где и - взаимно перпендикулярные орты, определить углы этого треугольника.

3.5. Даны векторы ={1;1} и ={1;-1} на плоскости. Найти косинус угла между векторами и , удовлетворяющими условиям: ; ;

3.6. Зная разложение вектора по трём перпендикулярным ортам, вычислить длину вектора и углы, которые он образует с каждым из ортов , и .

3.7. Вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах где - взаимно перпендикулярные орты.

3.8. Даны векторы ={-1;1;1} и ={2;0;-1}. Найти вектор , если известно, что он компланарен векторам и , перпендикулярен вектору и .

3.9. Зная векторы, совпадающие с двумя сторонами треугольника и , вычислить углы этого треугольника.

3.10. Найти проекцию вектора на ось, имеющую направление вектора , где - взаимно перпендикулярные орты. Вычислить углы между осью проекций и единичными векторами .

3.11. В плоскости Oxy найти вектор , перпендикулярный вектору и имеющий одинаковую с ним длину.

3.12. Даны два вектора и . Найти единичный вектор, лежащий в плоскости векторов и и образующий угол π/4 с вектором а.

3.13. Разложить вектор = по взаимно перпендикулярным ортам , образующим правую тройку.

3.14. Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , если известно, что =2 , =3 и угол между = π/4.

3.15. Вычислить объём параллелепипеда построенного на векторах: Где p, q, взаимно перпендикулярные орты.

3.16. Даны разложения векторов, служащих сторонами треугольника, по двум взаимно перпендикулярны ортам: ; . Вычислить длину медианы АМ и высоту АД треугольника АВС.

3.17. Вычислить объём параллелепипеда, построенного на трёх данных векторах ={3;1;-2}; ={-4;0;3}; ={1;5;-1} и исследовать, образуют ли векторы левую или правую тройку.

3.18. В треугольнике АВС даны длины его сторон =5; =6; =7. Найти скалярное произведение векторов

3.19. Решить задачу

; ; ; . Доказать, что АВСD – параллелограмма.

3.20. Вычислить синус угла между диагоналями параллелограмма, построенного на данных векторах и , где - взаимно перпендикулярные орты.

Задание 4 Даны вершины треугольника АВС.

а) составить уравнение высоты, проведённой из вершины В, найти её длину.

б) составить уравнение медианы, проведённой из вершины А

в) составить уравнение биссектрис

г) найти для треугольника АВС уравнения вписанной и описанной окружностей

д) вычислить площадь треугольника АВС.

4.1 A(3;1) B(0;-2) C(-4;2);

4.2 A(6;4) B(3;1) C(-1;5);

4.3 A(-3;3) B(1;-1) C(4;2);

4.4 A(-1;5) B(-4;2) C(0;-2);

4.5 A(3;9) B(0;6) C(4;2);

4.6 A(7;5) B(4;2) C(0;6);

4.7 A(1;7) B(-2;4) C(2;0);

4.8 A(-6;0) B(-2;-4) C(1;-1);

4.9 A(3;1) B(-1;5) C(2;8);

4.10 A(-1;5) B(3;1) C(6;4);

4.11 A(2;8) B(-1;5) C(3;1);

4.12 A(3;1) B(0;-2) C(-4;2);

4.13 A(-4;2) B(0;-2) C(3;1);

4.14 A(-4;2) B(0;-2) C(3;1);

4.15 A(2;0) B(-2;4) C(1;7);

4.16 A(1;-1) B(-3;3) C(0;6);

4.17 A(-2;4) B(2;0) C(5;3);

4.18 A(-3;3) B(1;-1) C(4;2);

4.19 A(0;-2) B(-4;2) C(-1;5);

4.20. A(0;6) B(-3;3) C(1;-1).

Задание 5 Решить задачу.

5.1. Найти уравнение диагонали параллелограмма, не проходящей через точку пересечения его сторон x+y-11=0 и y+1=0, если известно, что диагонали параллелограмма пересекаются в точке p(-1;0).

5.2. Даны уравнения двух сторон треугольника 4x-5y+9=0 и x+4y-3=0. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке P(3;1).

5.3. Даны уравнения двух сторон квадрата 5x+12y-10; 5x+12y+29=0. Составить уравнения двух других его сторон при условии, что точка М₁(-3;5) лежит на сторон этого квадрата.

5.4. Даны уравнения двух сторон квадрата 5x+12y-10; 5x+12y+29=0. Составить уравнения двух других его сторон при условии, что точка М₁(-3;5) лежит на сторон этого квадрата.

5.5 Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-1;2) так, что середина ее отрезка, заключенного между параллельными прямыми x+2y+1=0 и x+2y-3=0, лежит на прямой x-y-6=0.

5.6. Составить уравнение сторон квадрата, если А(-5;5) и В(3;-1) – две его вершины, а Д(2;5) – точка пересечения его высот.

5.7. Составить уравнение сторон треугольника, зная одну из его вершин А(-4;2) и уравнения двух медиан: 3x-2y+2=0; 3x+5y-12=0.

5.8. Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров восстановленных из середин сторон треугольника, вершинами которого служат точки А(2;3); В(0;-3);С(5;-2).

5.9. Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, восстановленных из середин сторон треугольника, вершинами которого служат точки А(2;3); В(0;-3); С(5;-2).

5.10. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон 2x-5y-1=0; 2x-5y-34=0 и уравнение одной из его диагоналей x+3y-6=0.

5.11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-1;2) так, что середина ее отрезка, заключенного между параллельными прямыми x+2y-3=0 и x+2y+1=0, лежит на прямой x-y-6=0.

5.12. Даны вершины четырехугольника А(-9;0); В(-3;6); С(3;4); D(6;-3). Найти точку пересечения его диагоналей АС и ВD и вычислить угол между ними.

5.13. В треугольнике АВС известны: сторона АВ: 4x+y-12=0; высота BH: 5x-4y-15=0 и высота AH: 2x+2y-9=0. Написать уравнения двух других сторон и третьей высоты.

5.14. Даны две смежные вершины А(-3;-1) и В(2;2) параллелограмма АВСD и точка Q(3;0) пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон этого параллелограмма.

5.15. Даны вершины треугольника А(1;2) и В(-1;6) и С(5;10). Составить уравнение сторон ромба АМNP вписанного в треугольник так, что вершинами M принадлежит стороне АВ, N – стороне ВС и З – стороне АС.

5.16. Даны стороны четырёхугольника: x-y=2; x+3y=0; x-y-4=0; 3x+y-12=0. Определить его диагонали.

5.17. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (2;-1) и составляющей с осью а угол, вдвое больший угла, составляющего с той же осью прямой у= .

5.18. Даны вершины четырёхугольника: А(-2;14); В(4;-2); С(6;-2); Д(6;10). Определить точку пересечения его диагоналей АС и ВД.

5.19. Точка А(-4;5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на стороне7x-y+18=0 Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.

5.20. Дано уравнение одной из сторон квадрата x+3y-7=0 и точка пересечения его диагоналей Р(0;-1). Найти уравнения трёх остальных сторон этого квадрата.

Задание 6

6.1. Составить уравнение линии, каждая точка которой является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат напрямую, проходящую через точку А(2;0).

6.2. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А(2;2) и оси абсцисс.

6.3. Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние от начала координат и от точки А (0;5) относятся как 3:2.

6.4. Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние от точки А (1;0) вдвое меньше расстояния от прямой x=4.

6.5. Определить траекторию точки М, которая движется так, что остаётся вдвое дальше от точки F(-8;0), чем от прямой x=-2.

6.6. Дана точка А(2;0). Точка М движется так, что в треугольнике ОМА угол ОМА остаётся прямым. Определить траекторию движения точки М.

6.7. Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние от точки А(0;1) вдвое меньше расстояния до прямой y=4.

6.8. Определить траекторию точки М, которая при своём движении остаётся втрое ближе к точке А(1;0), чем к прямой X=9.

6.9. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое ближе к точке А(1;0), чем к точке В(-2;0).

6.10. Составить уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых до точек А(-3;0) и В(3;0) равно 50.

6.11. Найти геометрическое место точек, для которых расстояние до данной точки F(0;-5) равно расстоянию до данной прямой y-5=0.

6.12. Точка М(x, y) движется так, что сумма квадратов расстояний от неё до начала координат и до точки А(-2;0) остаётся равной 4. Определить траекторию движения точки М.

6.13. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А(2;2) и оси абсцисс.

6.14. Составить уравнение линии, каждая точка которой является центром окружности касающейся оси абсцисс и проходящей через точку А(0;3).

6.15. Составить уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых до точек А(-3;0) и В(3;0) равно 50.

6.16. Составить уравнение линии, каждая точка которой является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат напрямую, проходящую через точку А(2;0).

6.17. Вывести уравнение геометрического места точек, разность расстояний которых до двух данных точек F₁ (-5;0) и F₁ (5;0), есть величина постоянная, равная 6.

6.18. Составить уравнение траектории движения точки М, которая при движении находятся на одинаковом расстоянии о точки А(3;0) и от прямой х=-3.

6.19. Составить уравнение линии, для каждой точки которой кк расстояние до точки А(4;-1) равно расстоянию до прямой y=1.

6.20. Составить уравнение линии, для каждой таки которой отношение расстояние до начала координат к расстоянию до прямой 3x+16=0 равно 0,6.

Задание 7 Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Требуется найти:

а) длину ребра А₁А₂

б) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄

в) уравнение плоскости А₁А₂А₃

г) площадь грани А₁А₂А₃

д) объем пирамиды

е) уравнение прямой А₁А₄

ж) уравнение высоты, опушенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃

з) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃

7.1. A₁(4;6;3); A₂(3;9;8);A₃(0;7;1) A₄(4;1;5).

7.2. A₁(7;9;6); A₂(4;5;7);A₃(9;4;4) A₄(7;5;3).

7.3. A₁(4;6;3); A₂(3;9;8);A₃(0;7;1) A₄(4;1;5).

7.4. A₁(-1;6;1); A₂(-1;1;6);A₃(0;4;-1) A₄(3;1;4).

7.5. A₁(1;2;6); A₂(4;2;0);A₃(6;1;1) A₄(4;6;6).

7.6. A₁(7;3;0); A₂(2;4;7);A₃(6;6;2) A₄(5;4;7).

7.7. A₁(9;5;5); A₂(-3;7;1);A₃(5;7;8) A₄(6;9;2).

7.8. A₁(7;5;3); A₂(9;4;4);A₃(4;5;7) A₄(7;9;6).

7.9. A₁(4;1;3); A₂(3;2;-1);A₃(2;-1;1) A₄(5;5;4).

7.10. A₁(1;-1;2); A₂(3;2;4);A₃(-2;0;5) A₄(5;2;-3).

7.11. A₁(7;5;3); A₂(9;4;4);A₃(4;5;7) A₄(7;9;6).

7.12. A₁(4;6;5); A₂(6;9;4);A₃(2;10;10) A₄(7;5;9).

7.13. A₁(3;3;9); A₂(6;9;1);A₃(1;7;3) A₄(8;5;8).

7.14. A₁(2;2;8); A₂(5;8;0);A₃(0;6;2) A₄(7;0;4).

7.15. A₁(4;2;5); A₂(0;7;2);A₃(0;2;7) A₄(1;5;0).

7.16. A₁(6;6;2); A₂(5;4;7);A₃(2;4;7) A₄(7;3;0).

7.17. A₁(3;5;4); A₂(5;8;3);A₃(1;9;9) A₄(6;4;8).

7.18. A₁(0;7;1); A₂(4;1;5);A₃(4;6;3) A₄(3;9;8).

7.19. A₁(5;8;2); A₂(3;5;10);A₃(5;5;4) A₄(3;8;4).

7.20. A₁(4;1;3); A₂(3;2;-1);A₃(2;-1;1) A₄(5;5;4).

Задание 8 Решить задачу

8.1. Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку (3;1;-2) и через прямую .

8.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку P(4;-3;1) и параллельной прямой: и .

8.3. Провести плоскость через перпендикуляры, опущенные из точки

(-3;2;5) на плоскости 4x+y-3z+13=0 и x-2y+z-11=0.

8.4. Написать уравнение перпендикуляра опущенного из точки (2;3;1) на прямую .

8.5. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения плоскости 2x+y-3z+1=0 c прямыми и .

8.6. Найти расстояние точки М(7;9;7) от прямой .

8.7. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М₀(2;-3;-5) перпендикулярно к плоскости 6x-3y-5z+2=0.

8.8. На прямой найти точку, ближайшую к точке (3;2;6).

8.9. На прямой найти точку, одинаково удаленную от двух данных точек А(3;11;4) и В(-5;-13;-2).

8.10. Даны вершины треугольника А(4;1;-2); В(2;0;0) и С(-2;3;-5). Составить уравнения биссектрис угла А треугольника.

8.11. Проверить, что прямые и пересекаются и написать уравнение плоскости, через них проходящей.

8.12. Написать уравнение плоскости, проектирующей прямую на плоскость XOY.

8.13. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей равные углы с плоскостями 4y=3x; y=0 и z=0. Найти эти углы.

8.14. На прямой найти точку, ближайшую к точке (3;2;6).

8.15. Написать уравнение плоскости, проектирующей прямую на плоскость XOY.

8.16. Найти точку симметричную точке Р(4;3;10) относительно прямой .

8.17. Даны плоскость x+y-z=0 и прямая, проходящая через точки А(0;0;4) и В(2;2;0). Найти точку пересечения прямой с плоскостью и угол между ними.

8.18. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ (1;-1;-1) перпендикулярно к прямой .

8.19. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М₀ (2;-4;-1) и середину отрезка прямой , заключённого между плоскостями 5x+3y-4z+11=0; 5x+3y+4z-41=0.

8.20. Проверить, что прямые и пересекаются и написать уравнение плоскости, через них проходящей.

Библиографический список

1. Шипачев В.С, Высшая математика: Учеб./под ред. А.Н. Тихонова. – 2-е изд. стереотип. – М.: Высш. шк., 1990. – 479 с.

2. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. I, IIч.. –М.:Рольф, 2002. – 288с.

3. Зайцев И.А. Высшая математика: Учеб. – М.: Высш. шк., 1991. – 400с.

4. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2ч. – М.: Высш. шк. т.1. – 1999. – 304 с.

4. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учеб. пособие. – 2-е изд., испр. – М.: Высш. шк., 2000. – 304 с.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: