Часа лекций, 2 часа практических занятий

Тема 1. Введение. Арифметические векторы и системы линейных уравнений

Часов лекций, 6 часов практических занятий

Линейная алгебра в экономических исследованиях и моделях экономики.

Векторы на прямой, плоскости и в пространстве. Координаты вектора.

Арифметические векторы и действия над ними. Пространства , и . Скалярное произведение векторов, длина вектора, угол между векторами. Векторная запись уравнений: прямой на плоскости и плоскости в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей в

Линейная комбинация векторов в . Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Геометрический смысл линейной зависимости наборов векторов в . Ортогональные векторы. Базисы пространств и .

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Применение метода Гаусса к определению линейной зависимости или линейной независимости системы векторов в пространствах и .

Тема 2. Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Часов лекций, 8 часов практических занятий

Матрицы и линейные операции над ними. Умножение матриц. Операция транспонирования матриц и ее свойства. Обратимые и необратимые матрицы. Ортогональная матрица.

Определители 2-го и 3-го порядков. Определители матриц порядка n и примеры их вычисления. Основные свойства определителей. Разложение определителя по элементам строки (столбца). Обратная матрица и ее свойства. Способы нахождения обратной матрицы и критерий ее существования. Ранг матрицы и его свойства.

Матричная запись системы линейных уравнений. Равносильность, совместимость. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Однородные системы линейных уравнений. Структура множества решений неоднородной системы линейных уравнений. Способ нахождения обратной матрицы как решения матричной задачи.

Матричная запись уравнения межотраслевого баланса в модели Леонтьева. Критерий продуктивности матрицы прямых затрат в модели Леонтьева межотраслевого баланса.

Собственные числа и собственные векторы матрицы. Характеристический многочлен матрицы. Модель международной торговли. Условие бездефицитности торговли.

Контрольная работа по темам 1-2.

Тема 3. Векторные пространства

Часа лекций, 4 часа практических занятий

Определение и простейшие свойства векторных пространств и подпространств. Базис и размерность пространства и подпространства. Координаты вектора в данном базисе. Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Способы задания подпространств в виде линейной оболочки системы векторов и в виде множества решений однородной системы линейных уравнений. Сумма и пересечение подпространств и их простейшие свойства.

Определение и примеры линейных отображений векторных пространств. Матрица линейного отображения и ее изменение при замене базисов. Действия над линейными отображениями. Ядро и образ линейного отображения.

Линейные операторы векторных пространств и их свойства. Изменение матрицы линейного оператора при замене базиса. Характеристический многочлен линейного оператора. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора. Условие существования базиса векторного пространства, в котором матрица линейного оператора диагональна.

Тема 4. Евклидовы пространства

Часа лекций, 2 часа практических занятий

Скалярное произведение векторов и его свойства. Геометрия пространства . Длина вектора, угол между векторами, ортогональность векторов. Процесс ортогонализации системы векторов. Ортонормированный базис. Вычисление скалярного произведения векторов в ортонормированном базисе. Подпространства евклидова пространства. Ортогональная проекция вектора на подпространство. Ортогональное дополнение к подпространству в . Свойства и примеры.

Тема 5. Вещественные квадратичные формы

часа лекций, 2 часа практических занятий

Определение и простейшие свойства вещественных квадратичных форм. Матрица квадратичной формы. Изменение матрицы квадратичной формы при линейном преобразовании переменных. Диагональная квадратичная форма. Канонический вид квадратичной формы. Теорема Лагранжа. Закон инерции вещественных квадратичных форм. Положительно определенные квадратичные формы и их свойства. Критерий Сильвестра.

Контрольная работа по темам 3-5.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: