Элементы аналитической геометрии

ДЕ №1. Системы линейных уравнений. (Задания №1 - №4)

№1. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

III вариант:

№2.Решить системы уравнений методом обратной матрицы.

№3.Решить системы уравнений по формулам Крамера.

I вариант:

№ 4. Найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений.

III вариант:

ДЕ №2. Определители. (Задания №5 - №6)

№5 -№6. Вычислить определители.

III вариант:

, .

ДЕ №3. Системы векторов. -мерное линейное векторное пространство. Евклидово пространство. (Задания №7-№11,всего 4задания.)

№7Будет ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой?

№8. Найти ранг, базис системы векторов.

№9. Будет ли вектор линейной комбинацией векторов ?

III вариант: , , , .

№10Найти ортогональный базис пространства (a , a , a , a ).

№11.Найти ортонормированный базис пространства

(a , a , a , a ).

III вариант:

a = ( 1, 1, 1, 1), a = (2, 4, 2, 0), a = ( -2, 1, 0, -3), a =(3, 6, 3, -2).

ДЕ №4. Линейные операторы и матрицы. (Задания №12-№16, всего 4 задания).

№12.Пусть - линейное векторное пространство, Функция . Является ли функция линейным оператором?

III вариант:

№15.Линейный оператор в базисе имеет матрицу . Найти его матрицу в базисе если:

III вариант:

ДЕ №5. Собственные векторы линейных операторов. (Задания №16 - № 19, всего 4 задания).

№16.Найти собственные векторы линейных операторов, заданных в естественном базисе матрицами.

№17.Найти собственные значения линейных операторов, заданных в естественном базисе матрицами.

III вариант:

.

№18.Подобна ли матрица диагональной матрице ?

№19. Если матрица подобна диагональной, то найти матрицу перехода такую, что .

III вариант:

.

ДЕ №6. Комплексные числа и многочлены. (Задания №20 - № 25, всего 6 заданий ).

№ 20.Какие части плоскости заданы условиями?

III вариант:

№21. Вычислить.

III вариант: а) ; б) .

№22-23.Вычислить все значения корней.

№22.

III вариант:Вычислить все значения корней четвёртой степени из 1.

№23.

III вариант:Вычислить все значения корней второй степени из числа .

№23.Найти необходимое и достаточное условия делимости многочлена на многочлен.

III вариант:

на

№24.Найти НОД многочленов.

III вариант:

Элементы аналитической геометрии

№1. Даны уравнения сторон треугольника

,

,

.

I вариант: Составить уравнение высоты, проведенной из вершины В, и найти ее длину;

II вариант: Составить уравнение медианы, проведенной из вершины В, и найти ее длину;

III вариант: Составить уравнение биссектрисы, проведенной из вершины В, и найти ее длину.

Ответ:Уравнение высоты ВД: длина высоты: уравнение медианы: длина медианы: уравнение биссектрисы: длина биссектрисы:

№2.

I вариант:Написать уравнение гиперболы с асимптотами , проходящей через точку (6; ). Найти расстояние между её вершинами.

Ответ: уравнение гиперболы: , расстояние между вершинами гиперболы равно

II вариант: Уравнение эллипса записать в каноническом виде. Найти полуоси и координаты центра.

Ответ: -эллипс с полуосями Центр эллипса в точке (2;4).

III вариант:Для гиперболы найти действительную и мнимую полуоси; координаты фокусов; эксцентриситет; уравнения асимптот.

Ответ:

№3.

I вариант:Составить уравнение параболы, проходящей через точки (0;0) и (-1; -3) симметрично относительно оси абсцисс.

Ответ: .

II вариант:Составить уравнение параболы, проходящей через точки (0;0) и (2; -4) симметрично относительно оси ординат.

Ответ:

III вариант:Найти уравнение параболы и её директрисы, если известно, что парабола симметрична относительно оси абсцисс и что точка пересечения прямых и лежит на параболе.

Ответ: .

№4.Даны координаты трёх точек: А=(-5; 2; -2), В=(-1; 4; -6),

С=(-4; 1; -6).

I вариант:Найти каноническое уравнение прямой АВ.

II вариант:Найти уравнение плоскости, проходящей через точку С, перпендикулярно прямой АВ и точку пересечения этой плоскости с прямой АВ.

III вариант:Найти расстояние от точки С до прямой АВ.

Ответ:

расстояние от точки С до прямой АВ равно 3.

Теоретические вопросы.

Системы линейных уравнений однородные и неоднородные.

Решения системы линейных уравнений. Следствия системы. Равносильные системы линейных уравнений.

Элементарные преобразования систем линейных уравнений.

Равенство строчечного и столбцового рангов матрицы.

Критерий совместности системы линейных уравнений, теорема Кронекера - Капелли.

Связь между решениями неоднородной системы линейных уравнений и решений ассоциированной с ней однородной системой.

Ступенчатые матрицы.

Решения систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).

Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений однородные системы линейных уравнений.

-мерные векторы, операции над векторами и их свойства. Арифметическое - мерное векторное пространство.

Линейная зависимость и независимость системы векторов. Свойства линейной зависимости и независимости.

Линейная оболочка системы векторов. Свойства линейных оболочек.

Теорема о линейной зависимости системы из -го вектора, принадлежащих линейной оболочке k векторов.

Эквивалентные системы векторов. Теорема о том, что эквивалентные линейно независимые системы векторов содержат одинаковое число векторов.

Элементарные преобразования системы векторов. Эквивалентность систем векторов, одна из которых получена цепочкой элементарных преобразований из другой системы векторов.

Базис и ранг конечной системы векторов. Теорема о том, что два базиса содержат одинаковое число векторов.

Ранг конечной системы векторов. Свойства рангов.

Определение векторного пространства над полем. Примеры векторных пространств. Простейшие свойства векторных пространств.

Линейная зависимость и независимость векторовСвойства линейной зависимости и независимости системы векторов.

Понятие подпространства. Примеры подпространств. Свойства подпространств. Пересечение подпространств.

Линейная оболочка множества векторов.

Эквивалентные системы векторов.

Конечномерные векторные пространства. Подпространства конечномерных пространств.

Размерность векторного пространства. Свойства размерности.

Связь между размерностями суммы и пересечения подпространств.

Изоморфизм векторных пространств. Изоморфизм n- мерного векторного пространства и n- мерного арифметического векторного пространства.

Скалярное умножение в векторном пространстве. Примеры пространств со скалярным умножением. Свойства скалярного умножения. Векторные пространства с невырожденным скалярным умножением.

Ортогональная система векторов. Ортогональный базис.

Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта. Теорема о существовании ортогонального базиса в пространстве с невырожденным скалярным умножением.

Ортогональное дополнение к подпространству. Ортогональное дополнение подпространства.

Определение евклидова векторного пространства. Примеры евклидовых векторных пространств.

Норма вектора. Свойства нормы. Неравенство Коши - Буняковского, неравенство треугольника. Примеры неравенств в конкретных пространствах.

Ортонормированный базис евклидова пространства. Свойства ортонормированного базиса.

Изоморфизмы евклидовых пространств.

Операции над матрицами. Свойства операций над матрицами.

Транспонирование произведения матриц.

Единичная матрица, обратимая матрица, обратная матрица.

Элементарные матрицы и их свойства.

Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных матриц.

Условия обратимости матриц.

Запись и решение системы n линейных уравнений с n неизвестными в матричной форме.

Определитель квадратной матрицы. Простейшие свойства определителей.

Основные свойства определителей.

Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу.

Определитель произведения матриц.

Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.

Правило Крамера.

Геометрические применения определителей: векторное произведение двух векторов; смешанное произведение трех векторов.

Приложения векторного произведения и смешанного произведения к решению прикладных задач.

Линейные отображения и операторы, примеры линейных отображений. Теорема о единственности линейного отображения заданного на базисе.

Ядро и образ линейного оператора. Пространство образов и ядерное пространство. Ранг и дефект линейного оператора. Теорема о сумме ранга и дефекта линейного оператора.

Матрица линейного оператора. Биективное отображение множества всех линейных операторов на множество всех квадратных матриц.

Матрица суммы линейных операторов, матрица линейного оператора, умноженного на скаляр.

Равенство ранга линейного оператора и ранга матрицы этого оператора.

Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах. Подобие матриц.

Условия обратимости линейного оператора. Матрица обратимого оператора.

Простейшие свойства собственных векторов и собственных значений линейного оператора.

Нахождение собственных векторов и собственных значений линейного оператора.

Характеристическое уравнение. Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические уравнения.

Линейная независимость собственных векторов, принадлежащих различным собственным значениям.

Линейные операторы с простым спектром. Необходимые и достаточные условия для того, чтобы оператор имел простой спектр.

Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице.

Определение квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Ранг квадратичной формы.

Линейное преобразование переменных в квадратичной форме.

Матрица квадратичной формы при невырожденном линейном преобразовании. Закон инерции квадратичной формы.

Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду при помощи ортогонального преобразования

Алгебраическая форма записи комплексного числа.

Операция сопряжения комплексных чисел и её свойства.

Модуль комплексного числа. Свойства модуля: модуль произведения; неравенство треугольника.

Геометрические интерпретации комплексных чисел: интерпретация точками плоскости; интерпретация векторами плоскости.

Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательные формы записи комплексного числа, формула Эйлера.

Умножение и возведение в степень (формула Муавра) комплексных чисел, записанных в тригонометрической и показательной форме.

Корни из комплексных чисел и двучленные уравнения. Формулы для вычисления корней. Комплексные корни степени n из 1.

Понятие многочлена. Степень многочлена. Значение многочлена.

Теорема о делении с остатком для многочлена.

Теория делимости для многочленов.

Корни многочлена. Теорема Безу.

Симметрические многочлены.

Решение уравнений третьей степени по формулам Кардано.

Решение уравнений четвертой степени методом Феррари.

Вопросы по теме: «Аналитическая геометрия».

Метод координат на плоскости.

Прямая линия на плоскости: уравнение прямой с угловым коэффициентом; общее уравнение прямой;

уравнение прямой, проходящей через две точки;

уравнение прямой в отрезках;

уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору;

полярное уравнение прямой;

нормальное уравнение прямой.

Угол между двумя прямыми;

условия параллельности и перпендикулярности двух прямых;

расстояние от точки до прямой.

Линии второго порядка на плоскости: окружность, эллипс, гипербола,

парабола.

Общее уравнение линий второго порядка.

Поверхность и ее уравнение. Уравнение линии в пространстве.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Общее уравнение плоскости.

Уравнение плоскости в отрезках.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Нормальное уравнение плоскости.

Расстояние от точки до плоскости.

Угол между двумя плоскостями.

Условия параллельности плоскостей.

Условия перпендикулярности плоскостей.

Различные виды уравнений прямой линии в пространстве.

Угол между двумя прямыми в пространстве.

Параллельность и перпендикулярность прямых в пространстве.

Угол между прямой и плоскостью в пространстве.

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Пересечение прямой и плоскости.

Цилиндрические поверхности.

Поверхности вращения.

Конические поверхности.

Канонические уравнения поверхностей второго порядка.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: