с) Решаем систему методом обратной матрицы.

А) Решаем систему методом Гаусса.

Расширенная матрица системы имеет вид:

.

Переставим местами две первые строки матрицы.

.

Добиваемся, чтобы под главной диагональю матрицы были только нули. Так в первом столбце уже имеется один ноль. Добьемся, чтобы вместо двойки в первом столбце стоял ноль. Для этого нужно первую строку нужно умножить на (-2) и прибавить к третьей, записывая результат сложения в третью строку имеем:

.

Таким образом, первое действие метода Гаусса выполнено – имеем в первом столбце матрицы все нули.

Вторым действием добиваемся, чтобы под главной диагональю второго столбца также был ноль. Для этого третью строку умножаем на (2) и прибавляем ко второй, записывая результат сложения в третью строку:

.

Матрица приведена к треугольному виду. Для получения решения системы, удобно новой расширенной матрице поставить в соответствие систему уравнений:

Решаем систему, начиная с третьего уравнения:

.

3в) Решаем систему методом Крамера.

Построим определитель , соответствующей левой части системы уравнений:

.

Поскольку найденный определитель не равен нулю, система может быть решена методом Крамера.

Построим определитель , соответствующий

-ому столбцу определителя, для этого в определителе вместо -го первого столбца поставим столбец свободных членов системы:

.

Аналогично для переменных y и z также строим соответствующие определители:

.

По найденным определителя находим решение системы по формулам

.

с) Решаем систему методом обратной матрицы.

Для левой части системы построим матрицу коэффициентов

.

Ее определитель не равен нулю ( ) т. е матрица А не является вырожденной матрицей, следовательно система может быть решена методом обратной матрицы.

Представим нашу систему в матричной форме:

.

Введем еще две матрицы, соответствующие неизвестным x, y, z и столбцу свободных членов в правой части системы:

,

то система, записанная в матричной форме , может быть представлена в компактной форме

.

Умножим слева это матричное уравнение на обратную матрицу , тогда с учетом, что где -единичная матрица, имеем:

.

Таким образом неизвестную матрицу можно вычислить, если будет известна обратная матрица . Найдем эту матрицу по формуле

,

где в числителе имеется транспонированная ассоциированная матрица ( матрица алгебраических дополнений матрицы ).

Решение системы записывается в виде

.

Таким образом, имеем:

Пример 4. Решить систему уравнений

.

Решение проводим методом Гаусса. Расширенную матрицу системы приводим к треугольному виду (четвертое уравнение сделаем первым):

Ввиду того, что четвертая строка совпадает с третьей, третье и четвертые уравнения системы совпадают. Отбросим одно из них и запишем соответствующую систему уравнений:

Решение системы представим в матричной форме:

.

Таким образом, четырехмерный вектор решения разложен по базису из двух векторов, первый из которых является частным решением первоначальной системы уравнений (легко проверить подстановкой вектора в систему), а второй является решением соответствующей однородной системы уравнений (легко проверяется также подстановкой его в однородную систему уравнений – систему, у которой справа стоят нули).

Задача 5. Для заданных векторов:

a=(-1,2,3); b=(0-2,1); c=2i+3j-2k; d=-2j+k;

m=(1,-2,-3); p=(-2,0,1) ; n=(0,1,2)

и пространственных точек:

A(0,-1,2); B(2,3,-1); C(2,0,0); D(1,1,1); E(0,2,3); F(1,-1,0); G(2,0,3)

упростить и вычислить выражения (N-номер варианта):

a) (Na+b-c) (Nn-2p+a-b+c)+AB CD+a/a+i+j-k;

b) a(N-10)(b+m-2p)+a+2b-c-AE+(FG/FG)(Nc-d+k);

c) найти угол между векторами EFи (с+Nd).

d) проверить справедливость формулы a (b c)=b(ac)-c(ab).

Примечание: Вектора обозначаются жирным шрифтом, а модули векторов - нежирным.

Пример 6. Для заданных векторов и пространственных точек упростить выражения:(a-2 b)(a +2b)+|AB a| |i+2j-k| ,

где a=i+3j +2k; b=(1, -3, 2); A(2,0,1); B(0,-1,-3)/

Вычислим первое слагаемое: используя свойства скалярного произведения векторов, имеем

(a-2b)(a+2b)= +2ab-2ab- =

AB a

|AB a|= |i+2j-k|= .

Подставляем найденные множители в искомое выражение, получаем:

Пример 7. Разложить вектор по базису где векторы

Разложение ищем в виде: где неизвестные коэффициенты. Найдем их, составив матричное уравнение, а из него систему уравнений:

Решая систему, получаем искомые коэффициенты: откуда разложение вектора по базису принимает вид:

Пример 8. На плоскости :

a) найти три точки A, B, C,

b) через них провести прямую AB,

c) найти расстояние от точки C до прямой AB.

d) Найти точку пересечения прямой L , заданной двумя плоскостями L: и плоскости .

e) Найти каноническое уравнение прямой L и

g) угол между нормалью к плоскости и прямой L.

a) Для нахождения точки A положим, например тогда значение найдем из уравнения плоскости Итак, A(1,0,0). Аналогично найдем точки В(2,1,-1); С(-1,1,0).

b) Каноническое уравнение прямой

АВ:

c) Для нахождения расстояния от точки С до прямой AB через точку С проведем плоскость , перпендикулярную прямой АВ, затем найдем точку пересечения К этой плоскости с прямой АВ, тогда искомое расстояние будет равно расстоянию между точками К и С.

:

Найдем точку К, лежащую на пересечении прямой АВ и плокости :

Ввиду того, что точка К совпадает с точкой С , точкам С принадлежит прямой АВ и, следовательно, искомое расстояние равно нулю ( это можно было заметить сразу, если подставить координаты точки С в уравнение АВ.

d) Найдем точку пересечения М прямой L и плоскости , решая совместно систему трех уравнений: M:

е) Каноническое уравнение прямой L можно построить, если знать одну точку прямой и направляющий вектор прямой

Найдем точку Р прямой L: Положим, например тогда координаты точки найдем из системы уравнений L:

Направляющий вектор прямой L найдем как векторное произведение векторов нормалей к плоскостям, образующим прямую L.

Таким образом,

Каноническое уравнение прямой L можно теперь записать:

L:

f) Угол между нормалью к плоскости и прямой L можно найти как угол между векторами -вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой L:

.

Пример 9. Сделать схематический рисунок поверхностей второго порядка

А) В)

Решение:

А) Приведем поверхность к каноническому виду, для чего выделим полный квадрат по переменной х:

.

Сделаем параллельный перенос осей координат, введя новые переменные: ,

при уравнение поверхности в новой системе координат принимает канонический вид:

Найдем координаты точки - начала новой штрихованной системы координат. Для чего приравняем координаты нулю:

Взаимное расположение осей координат можно представить на рисунке 1.

Рис. 1

Сделаем схематический рисунок поверхности в штрихованной системе координат, воспользовавшись методом сечений:

1. Рассекаем поверхность плоскостью , в сечении получаем уравнение параболы , которую обозначим на рисунке как .

2. Рассекаем поверхность плоскостью , в сечении получаем опять параболу , обозначенную на рисунке .

Ввиду того, что два основных сечения –параболы, поверхность называется параболоидом. Тип параболоида определим, сделав третье сечение.

По третьему сечению определяем тип параболоида как гиперболический. Таким образом, название поверхности:

ПАРАБОЛОИД ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ. Сделаем его рисунок. g

g P

P

Рис.2

В) Приведем поверхность к каноническому виду, выделяя полный квадрат по переменной y:

Сделаем параллельный перенос осей координат

В новой системе координат уравнением поверхности будет

Начало новой системы координат опять найдем, положив

откуда . Взаиморасположение осей координат см. на Рис. 3.

Рис. 3 y

х

 

 

Построим поверхность в новой в новой системе координат методом сечений.

1. Рассекаем поверхность плоскостями , получаем в сечениях одинаковые эллипсы с уравнением , обозначенные на Рис. 3 э и э .

2. Рассекаем поверхность плоскостью получаем в сечении пару прямых: , обозначенные на Рис. 3P и Р .

Из Рис. 3видно, что поверхность представляет собой конус, в горизонтальных сечениях которого располагаются эллипсы,таким образом, название поверхности :

КОНУС ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ.

 

 

э

 

Рис. 4

Р Р

 

 

э

 

---

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.