Линейная зависимость векторов. Базис.
Скалярное произведение векторов
Опр.1 Скалярным произведением двух ненулевых геометр. в-в наз. число (или ), где .
Отметим основные свойства скалярного произведения:
1) ; (док. сам.);
2) ; (док. сам.);
3) ; (док. сам.);
ПР. Вычислить , если
4) , если – острый, , если – тупой;
5) - условие перп-ти. ненулевых в-ов;
6) (скалярный квадрат);
7) ; ПР.
8) Пусть материальная точка. перемещается из положения А в положение В под действием силы , то работа, совершаемая при этом, , где ;
9) Пусть , . Учитывая что и т.д., св-ва ск. пр-я, получим: = , т.е. ск. пр-е равно сумме произ-ий соотв. коорд. перемн-х в-в.
ПР.
Векторное произведение векторов.
Опр.1 Векторным произведением в-ра называется вектор такой, что:
1) ,
2) ,
3) тройка в-ов - яв-ся правой тройкой.
Отметим свойства векторного произведения:
1) ;
2) ;
3) ;
ПР. Выч-ть , если ;
4) - площадь парал., постр-го на в-х ;
5) Если , то
6) - момент силы , приложен. к т. О;
7) Выведем формулу для вычисления в.п. ч/з координаты в-ов.
______________________________________________________
Пусть , ; учитывая что и т.д., получим:
=…= . ПР. Найти площадь тр-ка, постр.на в-х …
Смешанное произведение в-в
Опр1 Смешанным произведением упорядоченной тройки в-в наз. число, равное скалярному пр-ю. в-ра на в-р ; обозначается:
Отметим основные свойства смешанного произведения:
1) - объем параллелепипеда, построенного на в-х (док. сам.);
2) Векторы лежат в одной пл-ти (компланарные) если 0 (док. сам.);
3) ;
4) (док. сам.)
5) Пусть , , , тогда . Док-во:
ПР. Будут ли в-ры компл.? Если – нет, найти объем пирамиды, постр. на этих в-х.
Реш. …
§6. n- мерные векторы. Основные понятия.
Опр.1 Вектором наз. упорядоченный набор из n действительных чисел: , где - наз. i – й координатой вектора x, или компонентой.
Опр.2 Размерностью вектора наз. число его координат.
ПР. .
Опр.3 , если они имеют одинаковую размерность и .
Опр.4 Нулевым наз. в-р, все коорд. к-го равны нулю.
Опр.5 Произведением в-ра x на число наз. вектор .
Опр.6 Вектором, противоположным вектору x наз. в-р .
Опр.7 Суммой в-в и наз. в-р .
Очевидно, что .
ПР.Предприятие выпускает продукцию высшего, 1-го, 2-го и 3-го сорта, - объем выпуска продукции соотв-го сорта.
Тогда в-р хар-ет выпуск всех видов продукции. Пусть в январе выпуск был , – в феврале, тогда за два месяца выпуск составит .
ПР. В физике скорость, ускорение, сила – векторы.
Опр.8Операция сложения и умножения вектора на число наз. линейными операциями над в-ми, к-ые удовл-ют свойствам:
1) 2)
3) 4)
5) 6) .
Опр.9 Скалярным произведением в-в и наз. число .
_______________________________________________________
Пр. Пусть - объем выпускаемой продукции соотв-го сорта, - себест-ть единицы продукции соотв-го сорта. Себест-ть выпуска x составит .
Свойства скалярного произведения:
1) 2)
3) 4) , причем при .
Опр.10 Скалярным квадратом в-ра x наз. число .
Опр.11 Число наз. модулем или длиной в-ра. Пр. .
Опр.12В-ры x и y наз. ортогональными, если их скал-е произ-е равно нулю.
Пр.
Опр.13.Нек-ое мн-во V наз. линейным пространством, если
1) 2) ,
причем эти операции удовлетворяют св-м лин. операций.
Оч-но, что мн-во всех n-мерных в-в образуют лин. пр-во
(при фиксированном n) Оно обозн-ся . В част. .
Опр.14Лин. пр-во наз. эвклидовым,если в нем определено скал. пр-е., удовлет-щее св-м скал-го произ-я.
Оч-но, - евклидово пр-во.
Линейная зависимость векторов. Базис.
Опр.1 Линейной комбинацией в-в наз. выражение вида , где .
Пр.
Опр.2Сист. в-в наз. лин. зависимой, если из этих в-в м. составить нулевую лин. комб., т.е. =0, где хотя бы один из коэф. .
Т. Критерий линейной зависимости с-мы векторов.
С-ма в-в лин. зависима , когда хотя бы один из ее в-в м. представить в виде лин. комб. остальных (док. сам.).
Опр.3 С-ма в-в наз. лин. независимой, если из этих в-в невозможно составить нулевую лин. комб., в к-й хотя бы один из коэф-в был отличен от нуля. Т.е. лин. незав., если =0 .
Пр. Покажем, что на пл-ти люб. три в-ра являются лин. зав-мыми:
Расс-м три ненулевых в-ра .
а) в-ы лин. зав.
б) в-ы лин. зав.
Опр.4Вект. пр-во наз. n- мерным, если в нем существует ровно n лин. нез. в-в, а любые (n+1) в-ра явл-ся лин. зав.
Пр. …, .
Утв. Пр-во n-мерных в-в яв-ся n-мерным. ( без. док-ва.).
Опр.5 Базисом n- мер. пр-ва наз. любая упорядоченная с-ма из n лин. нез. в-в.
ПР. Векторы - образуют базис в пр-ве .
Т. О разложении в-ра по базису.
Если в вект. пр-ве выбран базис, то любой в-р этого пр-ва м.б. представлен единст-м образом в виде лин. комб. в-в базиса. (такое представление наз. разложением в-ра по базису).
Т. о разложении в-ра по базису на пл. (док. сам.)
Пусть - два неколлинеарных в-ра – базис на плос-ти. Тогда всякий компланарный им в-р единственным. образом м. представить в виде лин. ком. этих в-в.
Т. о разложении в-ра по базису в .(док. сам.)
Пусть - три некомпланарных в-ра. Тогда любой в-р ед. образом раскладывается в лин. комб. этих в-в.
(Н.Я. Бекельман, Ан. геом и в.а.).
_______________________________________________________
Пр. Пусть - базис в . Найдем разложение в-ра по этому базису.
Решение: .
Пр. Будут ли векторы образовывать базис в пр-ве, если будут, то найти разложение в-ра
.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|