Сделай Сам Свою Работу на 5

Приведение общей кривой 2-го порядка к каноническому виду.





Собственные векторы и собственные числа.

 

Опр.Пусть дано линейное преобразование . Не нулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования, если , где l - действительное число, оно называется собственным числом или собственным значением вектора . Равенство можно представить в виде

. (6)

Замечание. Определение означает, что вектор переходит в коллинеарный вектор .

Найдем собственные векторы и собственные значения. Для этого рассмотрим линейное пространство R с базисом , , …, и вектор

, (7)

. (8)

Подставим (7) и (8) в , получим или учитывая (2) из предыдущей лекции, получим

собирая элементы при , , …, ,получим

(9)

Однородная система, всегда совместна. Если r<n имеет не нулевые решения, что возможно если минор максимального порядка равен нулю, Мn=0,то есть

(10)

Это выражение называется характеристическое уравнение. Решая его найдем собственные числа . Подставив их в систему (9) найдем собственные векторы .

2. Билинейные формы.

Опр.Скалярная функция двух векторных аргументов называется билинейной формой, если она линейна по каждому аргументу, то есть



.

Матрица билинейной формы.

Найдём выражение билинейной формы в некотором базисе

имеем

j j в краткой записи

Обозначим тогда:

Рассмотрим билинейную форму в пространстве R3 с базисом

Тогда билинейная форма имеет вид

или

 

Получим матрицу билинейной формы

Если базис ортонормированный, то матрица билинейной формы имеет вид: (символ Кронекера)

Определение. Билинейная форма называется симметричной (симметрической) если

или

.

Матрица симметричной билинейной формы .

 

Линейные преобразования и билинейные формы.

Пусть в пространстве R есть элементы , то применим к вектору линейное преобразование , получим вектор . Образуем скалярное произведение , получим: тогда билинейная форма будет равна - скалярная функция векторных аргументов.

Теорема . Для того, чтобы линейное преобразование было симметричным необходимо и достаточно, чтобы связанная с ним билинейная форма была симметричной.

Квадратичная форма.

Определение. Если в билинейной форме считать , то получим функцию называемую квадратичной формой. Поскольку , то такая билинейная форма является симметричной



где - симметричная матрица.

Запишем квадратичную форму в R3.

учитывая, что , получим

выпишем матрицу квадратичной формы:

-это симметричная матрица.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Рассмотрим квадратичную форму , приведём соответствующее ей линейное преобразование , тогда:

.

Пусть у нас есть ортонормированный базис тогда матрица квадратичной формы в ортонормированном базисе:

Здесь -собственные значения базисных векторов Разложим вектор тогда скалярное произведение векторов есть: , тогда квадратичная форма примет вид придадим значения индексам, получим:

(1).

Говорят, что квадратичная форма (1) приведена к сумме квадратов или к каноническому виду.

Пример: Привести к каноническому виду квадратичную форму.

 

Решение: Соответствующее этой форме симметричное линейное преобразование имеет матрицу.

Найдём собственные значения. Для этого составим характеристическое уравнение.

Подставим найденные собственные значения в квадратичную форму , получим квадратичную форму в каноническом виде:

.

Приведение общей кривой 2-го порядка к каноническому виду.

Рассмотрим уравнение.

Опр. Множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1) называется кривой 2-го порядка. Этими кривыми являются: эллипс, окружность, гипербола, парабола.

В уравнении (1) группу старших членов можно рассматривать как квадратичную форму вектора , имеющего координаты х, у. Тогда



(2)

Мы уже знаем, что в некотором ортонормированном базисе данную квадратичную форму можно привести к каноническому виду:

(3)

- где и собственные значения матрицы Значение можно найти из характеристического уравнения

(4)

Заметим, что коэффициенты данного характеристического уравнения и коэффициенты в уравнении кривой (1) не зависят от выбора базиса, и тем самым являются инвариантами, т.е. не меняются при переходе от одной системы координат к другой, итак:

(5)

Здесь

; (6)

. (7)

Из коэффициентов уравнения (1) можно составить определитель .

Тогда величины I1= ; I2= ; I3= будут инвариантами. Зная инварианты можно определить тип кривой с помощью таблицы. Уравнение

(8)

представляет эллиптический и гиперболический тип кривой. Здесь .

Уравнение (9)

Представляет параболический тип кривой. Здесь

Таблица.

d>0 кривая эллиптического типа эллипс мнимый эллипс
Точка (пара, пересекающихся в одной точке мнимых прямых)
кривая гиперболического типа Гипербола
Пара пересекающихся прямых.
кривая параболического типа Парабола.
Пара параллельных прямых (различных; совпадающих или мнимых прямых).

 

Пример: Определить тип кривой

Составим матрицу =

Найдем инварианты ; , так как , то из таблицы следует, что кривая эллиптического типа.

Найдем третий инвариант . Так как , то из таблицы следует, что это - точка. Найдем ее. Сгруппируем по х.

; ; Равенство равносильно системе

; ; точка (-1;0)

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.