Приведение общей кривой 2-го порядка к каноническому виду.
Собственные векторы и собственные числа.
Опр.Пусть дано линейное преобразование . Не нулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования, если , где l - действительное число, оно называется собственным числом или собственным значением вектора . Равенство можно представить в виде
. (6)
Замечание. Определение означает, что вектор переходит в коллинеарный вектор .
Найдем собственные векторы и собственные значения. Для этого рассмотрим линейное пространство R с базисом , , …, и вектор
, (7)
. (8)
Подставим (7) и (8) в , получим или учитывая (2) из предыдущей лекции, получим
собирая элементы при , , …, ,получим
(9)
Однородная система, всегда совместна. Если r<n имеет не нулевые решения, что возможно если минор максимального порядка равен нулю, Мn=0,то есть
(10)
Это выражение называется характеристическое уравнение. Решая его найдем собственные числа . Подставив их в систему (9) найдем собственные векторы .
2. Билинейные формы.
Опр.Скалярная функция двух векторных аргументов называется билинейной формой, если она линейна по каждому аргументу, то есть
.
Матрица билинейной формы.
Найдём выражение билинейной формы в некотором базисе
имеем
j j в краткой записи
Обозначим тогда:
Рассмотрим билинейную форму в пространстве R3 с базисом
Тогда билинейная форма имеет вид
или
Получим матрицу билинейной формы
Если базис ортонормированный, то матрица билинейной формы имеет вид: (символ Кронекера)
Определение. Билинейная форма называется симметричной (симметрической) если
или
.
Матрица симметричной билинейной формы .
Линейные преобразования и билинейные формы.
Пусть в пространстве R есть элементы , то применим к вектору линейное преобразование , получим вектор . Образуем скалярное произведение , получим: тогда билинейная форма будет равна - скалярная функция векторных аргументов.
Теорема . Для того, чтобы линейное преобразование было симметричным необходимо и достаточно, чтобы связанная с ним билинейная форма была симметричной.
Квадратичная форма.
Определение. Если в билинейной форме считать , то получим функцию называемую квадратичной формой. Поскольку , то такая билинейная форма является симметричной
где - симметричная матрица.
Запишем квадратичную форму в R3.
учитывая, что , получим
выпишем матрицу квадратичной формы:
-это симметричная матрица.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Рассмотрим квадратичную форму , приведём соответствующее ей линейное преобразование , тогда:
.
Пусть у нас есть ортонормированный базис тогда матрица квадратичной формы в ортонормированном базисе:
Здесь -собственные значения базисных векторов Разложим вектор тогда скалярное произведение векторов есть: , тогда квадратичная форма примет вид придадим значения индексам, получим:
(1).
Говорят, что квадратичная форма (1) приведена к сумме квадратов или к каноническому виду.
Пример: Привести к каноническому виду квадратичную форму.
Решение: Соответствующее этой форме симметричное линейное преобразование имеет матрицу.
Найдём собственные значения. Для этого составим характеристическое уравнение.
Подставим найденные собственные значения в квадратичную форму , получим квадратичную форму в каноническом виде:
.
Приведение общей кривой 2-го порядка к каноническому виду.
Рассмотрим уравнение.
Опр. Множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1) называется кривой 2-го порядка. Этими кривыми являются: эллипс, окружность, гипербола, парабола.
В уравнении (1) группу старших членов можно рассматривать как квадратичную форму вектора , имеющего координаты х, у. Тогда
(2)
Мы уже знаем, что в некотором ортонормированном базисе данную квадратичную форму можно привести к каноническому виду:
(3)
- где и собственные значения матрицы Значение можно найти из характеристического уравнения
(4)
Заметим, что коэффициенты данного характеристического уравнения и коэффициенты в уравнении кривой (1) не зависят от выбора базиса, и тем самым являются инвариантами, т.е. не меняются при переходе от одной системы координат к другой, итак:
(5)
Здесь
; (6)
. (7)
Из коэффициентов уравнения (1) можно составить определитель .
Тогда величины I1= ; I2= ; I3= будут инвариантами. Зная инварианты можно определить тип кривой с помощью таблицы. Уравнение
(8)
представляет эллиптический и гиперболический тип кривой. Здесь .
Уравнение (9)
Представляет параболический тип кривой. Здесь
Таблица.
d>0
кривая
эллиптического
типа
|
| эллипс
мнимый эллипс
|
| Точка (пара, пересекающихся в одной точке мнимых прямых)
|
кривая
гиперболического
типа
|
| Гипербола
|
| Пара пересекающихся прямых.
|
кривая
параболического
типа
|
| Парабола.
|
| Пара параллельных прямых (различных; совпадающих или мнимых прямых).
|
Пример: Определить тип кривой
Составим матрицу =
Найдем инварианты ; , так как , то из таблицы следует, что кривая эллиптического типа.
Найдем третий инвариант . Так как , то из таблицы следует, что это - точка. Найдем ее. Сгруппируем по х.
; ; Равенство равносильно системе
; ; точка (-1;0)
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|