Приведение общей кривой 2-го порядка к каноническому виду.

Лекция 5

1. Базис линейного пространства.

2. Линейные преобразования.

3. Матрица линейного преобразования.

4. Собственные векторы и собственные числа.

5. Билинейные формы.

6. Матрица билинейной формы.

7. Квадратичная форма.

8. Приведение общей кривой 2-го порядка к каноническому виду.

Базис линейного пространства.

Опр.: Совокупность nлинейно – независимых векторов образует базис линейного пространства.

Теорема: Если образуют базис, то любой вектор , можно представить в этом базисе, причем единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов

Пример: Показать, что векторы , , образует базис.

Решение: Если , , образуют базис, то они линейно независимы т.е. , при х₁=х₂=х₃=0. Покажем это

однородная система имеет тривиальное единственное решение, когда r=n=3, но это когда . Да, образует базис.

Линейные преобразования.

Опр. Говорят, что в векторном пространстве L задан оператор или преобразование , если каждому вектору поставлен в соответствие вектор .

Опр. Оператор или преобразование , называется линейным, если для и числа выполняется условие:

2. .

Вектор называется образомвектора . Вектор - называется прообразом вектора .

Геометрический смысл свойств.

Свойство 1 – означает, что диагональ параллелограмма, построенного на векторах отображается в диагональ параллелограмма, построенного на векторах .

Свойство 2 - означает, что если вектор увеличился в a раз то вектор тоже увеличился в a раз.

Следовательно, при линейном отображении коллинеарные вектора переходят в коллинеарные.

Примеры линейных преобразований:

1.) Преобразование, которое вектор отображает в вектор , является линейным и называется тождественным .

2.) Преобразование, которое вектору ставит в соответствие вектор , является линейным. Геометрически преобразование представляет собой однородное растяжение (сжатие) всех векторов пространства. Такое преобразование называется гомотетией.

Матрица линейного преобразования.

Пусть в линейном пространстве L задан базис , , …, . Тогда любой вектор можно представить . Пусть в нашем пространстве задан линейный оператор . Можно показать, что матрица оператора в базисе , , …, есть .

Собственные векторы и собственные числа.

Опр.Пусть дано линейное преобразование . Не нулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования, если , где l - действительное число, оно называется собственным числом или собственным значением вектора . Равенство можно представить в виде

. (1)

Найдем собственные векторы и собственные значения. Для этого рассмотрим линейное пространство R с базисом , , …, и вектор

, (2)

Матрица линейного оператора в базисе есть

Матрица тождественного оператора в этом же базисе есть

, так как он отображает вектор в , тогда запишем выражение (1) в матричном виде: или

В результате получим однородную систему

(3)

Однородная система, всегда совместна. Если r<n имеет не нулевые решения, что возможно при М_n=0,то есть

(4)

Это выражение называется характеристическое уравнение. Решая его найдем собственные числа . Подставив их в систему (3) найдем собственные векторы .

5. Билинейные формы.

Опр.Скалярная функция двух векторных аргументов называется билинейной формой, если она линейна по каждому аргументу, то есть

Матрица билинейной формы.

Найдём выражение билинейной формы в некотором базисе

имеем

в краткой записи j =j j

Обозначим j тогда:

Рассмотрим билинейную форму в пространстве R₃ с базисом

Тогда билинейная форма имеет вид

Получим матрицу билинейной формы

Квадратичная форма.

Опр. Если в билинейной форме считать , то получим функцию называемую квадратичной формой. Поскольку , то такая билинейная форма является симметричной

где - симметричная матрица.

Запишем квадратичную форму в R₃.

учитывая что , получим

выпишем матрицу квадратичной формы:

-это симметричная матрица.

Приведём соответствующее ей линейное преобразование , тогда:

Переходя к новой системе координат можно показать, что имеет место выражение:

(5).

Говорят, что квадратичная форма (5) приведена к сумме квадратов или к каноническому виду. Здесь -собственные значения базисных векторов.

Приведение общей кривой 2-го порядка к каноническому виду.

Рассмотрим уравнение.

Опр. Множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (6) называется кривой 2-го порядка. Этими кривыми являются: эллипс, окружность, гипербола, парабола.

Введем инварианты. Обозначим:

; (7)

. (8)

Из коэффициентов уравнения (6) можно составить определитель

(9)

Тогда величины I₁; I₂; I₃ будут инвариантами, т.е. не меняются при переходе от одной системы координат к другой. .

Значение можно найти из характеристического уравнения

(10)

Составим таблицу.

d>0 кривая эллиптического типа		эллипс мнимый эллипс
	Точка (пара, пересекающихся в одной точке мнимых прямых)
кривая гиперболического типа		Гипербола
	Пара пересекающихся прямых.
кривая параболического типа		Парабола.
	Пара параллельных прямых (различных; совпадающих или мнимых прямых).