Собственные векторы и собственные числа.

Лекция 14

1. Евклидово пространство

2. Базис линейного пространства.

3. Линейные преобразования.

4. Матрица линейного преобразования.

5. Собственные векторы и собственные числа.

Евклидово пространство.

Опр.: Линейное пространство называется Евклидовым, если в нем определена операция скалярного умножения: любым двум векторам , из Lсопоставляется число ( , ) и выполняются следующие условия. Для " и числа aвыполняются аксиомы:

4. , из условия , вытекает, что

Опр.: Длиной, модулем или нормой вектора в Евклидовом пространстве называется:

Опр.: Угол между векторами определим как

Можно показать, что

Это можно показать с помощью неравенства Коши – Буняковского .

Базис линейного пространства.

Опр.: Совокупность nлинейно – независимых векторов образует базис линейного пространства.

Теорема: Если образуют базис, то любой вектор , можно представить в этом базисе, причем единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов

Пример: Показать, что векторы , , образует базис.

Решение: Если , , образуют базис, то они линейно независимы т.е. , при х₁=х₂=х₃=0. Покажем это

однородная система имеет тривиальное единственное решение, когда r=n=3, но это когда . Да, образует базис.

Линейные преобразования.

Опр. Говорят, что в векторном пространстве L задан оператор или преобразование , если каждому вектору поставлен в соответствие вектор .

Опр. Оператор (или преобразование ), называется линейным, если для и числа выполняется условие:

2. .

Вектор называется образомвектора . Вектор - называется прообразом вектора .

Геометрический смысл свойств.

Свойство 1 – означает, что диагональ параллелограмма, построенного на векторах отображается в диагональ параллелограмма, построенного на векторах .

Свойство 2 - означает, что если вектор увеличился в a раз то вектор тоже увеличился в a раз.

Следовательно, при линейном отображении коллинеарные вектора переходят в коллинеарные.

Примеры линейных преобразований:

1.) Преобразование (или оператор), которое вектор отображает в вектор , является линейным и называется тождественным .

2.) Преобразование, которое вектору ставит в соответствие вектор , является линейным. Геометрически преобразование представляет собой однородное растяжение (сжатие) всех векторов пространства. Такое преобразование называется гомотетией.

Матрица линейного преобразования.

Пусть в линейном пространстве L задан базис , , …, . Тогда любой вектор можно представить . Пусть в нашем пространстве задан линейный оператор . Можно показать, что матрица оператора в базисе , , …, есть .

Собственные векторы и собственные числа.

Опр.Пусть дано линейное преобразование . Не нулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования, если , где l - действительное число, оно называется собственным числом или собственным значением матрицы линейного преобразования, соответствующим собственному вектору . Равенство можно представить в виде

. (1)

Найдем собственные векторы и собственные значения. Для этого рассмотрим линейное пространство R с базисом , , …, и вектор

, (2)

Матрица линейного оператора в базисе есть

Матрица тождественного оператора в этом же базисе есть

, так как он отображает вектор в , тогда запишем выражение (1) в матричном виде: или

В результате получим однородную систему

(3)

Однородная система, всегда совместна. Если r<n имеет не нулевые решения, что возможно при условии, что минор n-го порядка М_n=0, то есть

(4)

Это выражение называется характеристическое уравнение. Решая его найдем собственные числа (собственные значения) . Подставив их в систему (3) найдем собственные векторы .

Схема решения задач.

1. Составляем характеристическое уравнение (4) и находим его корни, которые являются собственными значениями матрицы.

2. Подставляем поочередно полученные собственные значения в систему (3). Если уравнение (4) имеет два различных корня, то получим два собственных вектора соответственно для каждого значения .

3. Если корни уравнения (4) – – действительные и различные, то мы получим собственные векторы с действительными координатами.

4. Если имеется пара корней уравнения (4) – – действительные и равные (кратные), то мы можем получим один собственный вектор с действительными координатами.

5. Если имеется пара корней уравнения (4) – – комплексно-сопряженные (дискриминант квадратного уравнения отрицательный), то мы получим собственные векторы с комплексными координатами.

Замечание. Симметричные матрицы второго порядка

всегда имеют два действительных собственных значения, причем при действительные собственные значения будут различны.

6. Билинейные формы.

Опр.Скалярная функция двух векторных аргументов называется билинейной формой, если она линейна по каждому аргументу, то есть

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: