Примеры линейных пространств.

1. Совокупность векторов, лежащих на одной прямой, образует линейное пространство, т.к. сложение векторов и умножение вектора на число приводят снова к векторам, лежащим на одной прямой. Свойства 1-8 легко проверяются. Обозначим L₁, пространство размерности d(L)=1.

2. Совокупность векторов, лежащих на одной плоскости также оказывается замкнутой относительно операций сложения и умножения на число. И образует линейное пространство размерности d(L)=2.

3. Совокупность всех векторов пространства является линейным пространством размерности d(L)=3.

4. Совокупность всех многочленов степени n.

для которых обычным образом введены операции сложения и умножения на число образует линейное пространство.

6 Множество непрерывных функций на [а, в].

7 Множество матриц размера является замкнутым относительно операций сложения и умножения на число, т.е. образует линейное пространство (для доказательства матричные единицы нумеруются в каком – либо порядке).

Опр.:Непустое пространство векторов L^¢из L, которые сами образуют линейное пространство, называется подпространством линейного пространства.

Размерность подпространства не превосходит размерности пространства.

Для того чтобы убедится в том, что L^¢ является подпространством пространства L достаточно проверить операцию сложения и умножения на число. Все пространство L одновременно можно считать подпространством.

Задача 1: Образуют ли подпространство линейного пространства векторы лежащие в плоскости XOY, начало которых совпадают с началом координат, а концы лежат в первом квадрате.

		Решение:проводим операцию сложения: сумма первому квадрату: произведение первому квадрату, если <0. Ответ: не образует.

Евклидово пространство.

Определим операцию скалярного умножения векторов, а длину и угол введем с помощью этого определения.

Опр.: Линейное пространство называется Евклидовым, если в нем определена операция скалярного умножения: любым двум векторам , из Lсопоставляется число ( , ) и выполняются следующие условия. Для " и числа aвыполняются аксиомы:

1.

2.

3.

4. , из условия , вытекает, что

Опр.: Длиной, модулем или нормой вектора в Евклидовом пространстве называется:

Опр.: Угол между векторами определим как

Можно показать, что

Это можно показать с помощью неравенства Коши – Буняковского .

Базис линейного пространства.

Опр.: Совокупность nлинейно – независимых векторов образует базис линейного пространства.

Теорема: Если образуют базис, то любой вектор , можно представить в этом базисе, причем единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов

Пример: Показать, что векторы , , образует базис.

Решение: Если , , образуют базис, то они линейно независимы т.е. , при х₁=х₂=х₃=0. Покажем это

,

однородная система имеет тривиальное единственное решение, когда r=n=3, но это когда . Да, образует базис.

Линейные преобразования.

Опр. Говорят, что в векторном пространстве L задан оператор или преобразование , если каждому вектору поставлен в соответствие вектор .

Опр. Оператор или преобразование , называется линейным, если для и числа выполняется условие:

1.

2. .

Вектор называется образомвектора . Вектор - называется прообразом вектора .

Замечание: Линейное преобразование называется линейным оператором , а также линейным отображением.

Геометрический смысл свойств.

Свойство 1 – означает, что диагональ параллелограмма, построенного на векторах отображается в диагональ параллелограмма, построенного на векторах .

Свойство 2 - означает, что если вектор увеличился в a раз то вектор тоже увеличился в a раз.

Следовательно, при линейном отображении коллинеарные вектора переходят в коллинеарные.

Примеры линейных преобразований:

1.) Преобразование, которое вектор отображает в вектор , является линейным и называется тождественным .

2.) Преобразование, которое вектору ставит в соответствие вектор , является линейным. Геометрически преобразование представляет собой однородное растяжение (сжатие) всех векторов пространства. Такое преобразование называется гомотетией.Приl=0 преобразованиеназывается нулевым и обозначается .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: