Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Способы нахождения ранга.

1. Метод окаймляющих миноров.

Сначала находят минор k– го порядка не равный 0, затем вычисляют все окаймляющие миноры (k+1). Если они равны нулю, то все миноры более высоких порядков равны нулю. Тогда r(A)=k. Если среди (k+1) – го порядка найдется минор не равный 0, надо рассматривать все (k+2) – го порядка и т.д.

Пример:

А=

(3 5)

r(A) 3 Выберем минор , т.к. М= тогда М= окаймляющий минор М₃= но другой М₃= следовательно r(A)= 3.

2. Метод элементарных преобразований.

Опр. Элементарными преобразованиями называются следующие преобразования:

1.Транспонирование – замена строк столбцами;

2. Перестановка двух строк или двух столбцов;

3. Умножение всех элементов строки или столбца на число не равное 0;

4. Прибавление ко всем элементам строки или столбца соответствующих элементов другой строки или столбца умноженных на одно и тоже число.

Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

Если в результате элементарных преобразований получена единичная матрица вида

Если в результате элементарных преобразований получена ступенчатая (треугольная) матрица

,то ранг равен числу не нулевых элементов на главной диагонали.

Опр. Минор, с помощью которого устанавливается ранг матрицы, называется базисным минором. Базисных миноров может быть несколько.

Пример: Найти ранг.

3 Нахождение ранга матрицы с помощью теоремы о ранге.

Теорема (о ранге матрицы). Если ранг матрицы равен r, то в этой матрице можно найти r линейно независимых строк (столбцов) через которые линейно выражаются остальные ее строки (столбцы).

Пример: Найти ранг.

строки данной матрицы являются линейно зависимыми так как между ними имеется следующая зависимость или или видим, что строки - линейно выражаются через . Следовательно линейно независимы и по теореме о ранге – ранг равен двум .

Теорема Кронекера – Капели.

Пусть дана система из m –уравнений и n – неизвестных

(1)

В частном случае если m = n и detA ≠ 0, система совместна, имеет единственное решение и оно находится матричным способом, методом Крамера или методом Гаусса.

В общем случае возникает вопрос о ее совместности. Ответ на него дает теорема Кронекера – Капелли. Введем основную и расширенную матрицы системы.

- основная матрица;

- расширенная матрица.

Теорема(Кронекера – Капелли). Для совместности системы линейных алгебраических уравнений необходимо и достаточно чтобы ранг основной матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы .

Замечание:Ранг расширенной матрицы системы не может быть больше ранга основной матрицы.

Согласно теореме Кронекера – Капелли если ранг основной матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы, то система не совместна.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Рассмотрим случаи для системы размерности :

Пусть ранг равен числу неизвестных . Поскольку число уравнений такой системы n равно рангу системы r, то система имеет единственное решение, которое можно найти известными методами (матричным, Крамера) или Гаусса.

Суть метода Гаусса состоит в том, что путем элементарных преобразований из всех уравнений системы, кроме первого, исключаем неизвестное , далее из всех уравнений системы, кроме первого и второго, исключаем неизвестное , и т. д.

Пример. Решить систему.

Запишем расширенную матрицу системы, поменяв местами 1 - е и 2 – е уравнение (при этом -это значение учитывается при подсчете определителя), получим:

= =

=

Матрица имеет ступенчатый вид. Основная матрица имеет размерность , следовательно, ее ранг . Расширенная матрица Размера ее ранг также . Определитель основной матрицы , значит ранг основной матрицы . Расширенная матрица также будет иметь ранг . Обозначим , ранг равен числу неизвестных =4 - единственное решение. Согласно полученной матрице запишем систему эквивалентную исходной:

Применим обратный ход метода Гаусса.

Из последнего уравнения найдем =1 и подставим в 3-е уравнение, найдем , получим . Подставим и во 2-е уравнение , или и окончательно из первого уравнения или . Получили единственное решение системы.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: