Способы нахождения ранга.
Обратная матрица.
Опр.: Квадратная матрица, определитель которой det A 0 называется невырожденной.
Опр.: Всякая невырожденная квадратная матрица (detA 0) имеет обратную. Для обратной матрицы принято обозначение .
Опр.: Матрица называется обратной к матрице A, если произведение равно единичной матрице. Обратная матрица находится по формуле:
Опр.: Матрица называется союзной матрицей. Это транспонированная матрица, состоящая из алгебраических дополнений.
=
Пример:
Найти А-1 если А=
det A= =10 0, матрица имеет обратную.
А11=(-1)1+14=4 А21=(-1)2+12=(-2)
А12=(-1)1+21=(-1) А22=(-1)2+23=3
Матричный способ решения системы.
Пусть дана система из n –уравнений и n – неизвестных.
(1)
где - числа, - свободные члены, - неизвестные.
Опр.: Решением системы (1) является любой набор чисел x1, x2…xnпри подстановке которого в систему, каждое уравнение системы обращается в тождество.
Опр.: Если система имеет решение, то ее называют совместной. Систему, не имеющую решения, называют несовместной. Совместная система может иметь единственное решение, а может иметь множество решений. Запишем систему в матричном виде.
Введем матрицы:
А= Х= В=
(n n) (n 1) (n 1)
AX=B (2)
(2) – матричное уравнение системы.
Таким образом, нахождение решения системы уравнений (1) сводится к нахождению матрицы Х из системы(2).
Теорема: Если det A 0 тогда система (2), а следовательно, и (1) имеет единственное решение которое находится по формуле
Х=А-1В
Доказательство:
Умножаем обе части уравнения AX=B на А-1
Получим А-1(АХ)=А-1В тогда (А-1А)Х=А-1В ЕХ= А-1В или
Х=А-1В
Пример: Решить систему матричным способом.
А= Х= В=
АХ=В – матричная запись системы.
Х=А-1В – решение системы.
А-1= ; detA= (1–строку 3 и вычтем из 2–ой)= = = (разложим по элементам 1 – го столбца)= =
система имеет единственное решение.
Найдем А-1. Для этого надо найти союзную матрицу .
Исходная матрица А= . Найдем алгебраические дополнения к каждому элементу матрицы:
Х= = А-1В= получили
Метод Крамера.
Теорема: Если detA 0, тогда система (1) имеет единственное решение, которое находится по формуле:
Δ=detA; – получается при замене в определителе i – го столбца, столбцом свободных членов.
Для системы третьего порядка будем иметь три значения
;
Аналогично получим Δ3.
Ранг матрицы.
Ранг матрицы отвечает на следующие вопросы:
1. Что можно сказать о существование решения системы, когда detA=0?
2. Как решать систему, состоящую из m – уравнений и n–неизвестных?
Опр.: Пусть A = ( ) – прямоугольная матрица размера m n. Зафиксируем число k, так что k m, и k n. Выделим из данной матрицы любые kстрок и kстолбцов. Определитель составленный из элементов, стоящих на пересечении выделенных kстрок и kстолбцов называется минором k– го порядка.
Например пусть дана матрица А размерности 3×4.
А=(3 4); А= ; выберем минор 2 – го порядка
k=2 М= или и т.д.
У матрицы (3 4) можно найти 18-ть миноров второго порядка. Среди этих миноров могут встретиться равные 0, например 0
Опр.: Рангом матрицы называется наибольший порядок отличного от нуля минора.
Из определения следует, что если r(A)=k, то среди всех миноров k – го порядка, хотя бы один отличен от нуля.
Пример:
А= Матрица размерности . Наибольший порядок минора равен трем. Всего таких миноров у данной матрицы 4-е. Следовательно, ранг r(A) 3. Найдем хотя бы один из миноров третьего порядка 0.
Следовательно, r(A)=3
Способы нахождения ранга.
1. Метод окаймляющих миноров.
Сначала находят минор k– го порядка не равный 0, затем вычисляют все окаймляющие миноры (k+1). Если они равны нулю, то все миноры более высоких порядков равны нулю. Тогда r(A)=k. Если среди (k+1) – го порядка найдется минор не равный 0, надо рассматривать все (k+2) – го порядка и т.д.
Пример:
А=
(3 5)
r(A) 3 Выберем минор , т.к. М= тогда М= окаймляющий минор М3= но другой М3= следовательно r(A)= 3.
2. Метод элементарных преобразований.
Опр. Элементарными преобразованиями называются следующие преобразования:
1.Транспонирование – замена строк столбцами;
2. Перестановка двух строк или двух столбцов;
3. Умножение всех элементов строки или столбца на число не равное 0;
4. Прибавление ко всем элементам строки или столбца соответствующих элементов другой строки или столбца умноженных на одно и тоже число.
Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.
Если в результате элементарных преобразований получена единичная матрица вида
То ее ранг будет равен числу единиц на главной
диагонали
| |
Если в результате элементарных преобразований получена ступенчатая (треугольная) матрица
,то ранг равен числу не нулевых элементов на главной диагонали.
Опр. Минор, с помощью которого устанавливается ранг матрицы, называется базисным минором. Базисных миноров может быть несколько.
Пример: Найти ранг.
3 Нахождение ранга матрицы с помощью теоремы о ранге.
Теорема (о ранге матрицы). Если ранг матрицы равен r, то в этой матрице можно найти r линейно независимых строк (столбцов) через которые линейно выражаются остальные ее строки (столбцы).
Пример: Найти ранг.
строки данной матрицы являются линейно зависимыми так как между ними имеется следующая зависимость или или видим, что строки - линейно выражаются через . Следовательно линейно независимы и по теореме о ранге – ранг равен двум .
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|