Диаметральная плоскость поверхности второго порядка.

Раздел III

Общая теория поверхностей второго порядка

Рассмотрим многочлен степени 2 от трех неизвестных

(1)

Инварианты общих ортогональных преобразований ПДСК в пространстве многочлена (1)

Инварианты поворота и переноса

Инварианты поворота

Аффинные свойства поверхностей второго порядка.
Пересечение поверхностей и прямой.

Рассмотрим поверхность второго порядка

(2)

₍₃₎

Рассмотрим поверхность с уравнением (2) и прямую в пространстве

(4)

Рассмотрим различные случаи пересечения прямой и поверхности:
решаем: (4) подставляем в (2), получим:

(5)

(6)

Найдем точки пересечения, т.е. решения уравнения (5)

I. P=0 (5)-> (5.1)

(7)

Если прямая (4) удовлетворяют условию (7), то она называется прямой асимптотического направления относительно поверхности с уравнением (2).

Уравнение (5), различные решения

I.1. Q≠0

В этом случае прямая (4) пересекает поверхность (2) в одной точке.

I.2. Q=0 R≠0

(5.1)->R=0 (противоречие)

т.е. прямая не имеет точек пересечения с поверхностью, если она имеет асимптотическое направление (удовл (7)), то она является асимптотой.

I.3. Q=R=0

ур-е (5)-> , т.е. - решение (5)

все точки лежащие на прямой являются точками пересечения с поверхностью, т.е. прямая (4) целиком лежит на поверхности и она называет прямолинейной образующей поверхности.

Конус асимптотических направлений и асимптотический конус поверхностей.

Пусть все такие прямые проходят через т. М₀.

Из (4)

-> в (7) и делим на t²:

(8)

(8) – уравнение конической поверхности второго порядка с вершиной М₀.

Определение. Коническая поверхность (8) называется конусом асимптотических направлений поверхности с уравнением (2).

Любая прямая асимптотического направления (удовл (7)), проходящая через т.М₀ лежит на этом конусе.

Определение. Если т.М₀ совпадает с центром поверхности второго порядка, то конус асимптотических направлений (8) называется асимптотическим конусом поверхности второго порядка.

II. P≠0 прямой неасимтотического направления относительно поверхности

II.1.

тогда прямая (4) пересекает поверхность в двух точках и образует хорду

уравнение (5) имеет 2 корня

II.2.

Прямая является касательной, она касается поверхности второго порядка.

II.3.

Прямая не имеет точек пересечения с поверхностью второго порядка.

Касательная плоскость к поверхности второго порядка

Рассмотрим поподробнее случай II.2.

Пусть - точка касания => - принадлежит поверхности (2)

(*)

Для касательной прямой должно удовлетворять (*)

Из (4), пусть

--> (*)

(*)=> (**)

=>

(**)=> (9)

Уравнению (9) должна удовлетворять любая прямая, касающаяся поверхности в т.М₀.

(x;y;z) – это координаты текущей точки прямой, касающейся поверхности в т.М₀, т.к. это уравнение плоскости => все такие прямые укладываются в эту плоскость, она называется касательной плоскостью поверхности в т.М₀.

Центр поверхности второго порядка.

Центральные и нецентральные поверхности.

Определение. Точка пространства называется центром поверхности второго порядка, если любая хорда поверхности, проходящая через эту точку, делится в этой точке пополам.

Теорема 1.Точка М₀(x₀;y₀;z₀) – центр поверхности с уравнением (2) <=> выполняются условия , ,

(10)

Док-во:

|=> Пусть M₀ – центр

M₁ M₂ – хорда (4) и (2)

M₁ M₂

M₀ – середина хорды M₁ M₂=>

t₁ и t₂ - корни уравнения (5)

по т. Виета Q=0 (т.к. )

(*)

Рассмотрим 3 линейно независимых неасимптотических вектора

; ; и рассмотрим хорды этих направлений, проходящие через т.M₀, для них всех выполняется равенство (*)

(**)

Вопрос: как найти F₁⁰, F₂⁰, F₃⁰? (**) – система однородных линейных уравнений на F₁⁰, F₂⁰, F₃⁰. Рассмотрим определитель этой системы

, т.к. 3 вектора л/н,

=> по т.Крамера получаем, что

-- единственное решение.

<=| Если выполняется (10), докажем, что М₀ – центр.

Пусть выполняется (10) для точки М₀

Рассмотрим хорды, проходящие через т.M₀=>Q=0=(т.Виета. ур.(5))=>

=> ; ; => M₀ – Центр.

Поверхность, которая имеет единственный центр, называется центральной.

(10):

Пусть

Тогда система (10) по теореме Крамера имеет единственное решение, поверхность имеет один центр. Если , то поверхность является нецентральной. Такая поверхность может не иметь центра, иметь прямую центров, иметь плоскость центров.

Диаметральная плоскость поверхности второго порядка.

Определение. Геометрическое место середин хорд поверхности второго порядка одного и того же неасимптотического направления {l;m;n} называется диаметральной плоскостью поверхности второго порядка, сопряженной направлению {l;m;n}.

Пусть М₁М₂ – хорда с серединой в точке M₀ => =>Q=0=> (*)

- текущая точка => (*) превратиться в

(11) – уравнение геометрического места середин хорд.

Рассмотрим уравнение (11) (уравнение первой степени), выделим в нем коэффициенты при x, y и z:

(11.1)

Пусть (12)

(11.1)

Докажем, что это уравнение первой степени методом от противного. Предположим не первой => нулевой.

(13) , но - асимптотическое направление, что противоречит условию. Следовательно, уравнение (11) – это уравнение первой степени.

Определение. Направление вектора , координаты которого удовлетворяют условию (13), называется особым направлением поверхности (2).

Особое направление не имеет сопряженной диаметральной плоскости и является асимптотическим. Но не каждое асимптотическое направление является особым.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: