Сделай Сам Свою Работу на 5

Выполнение типового расчета

1. Найдем решение первой системы A1 · X = B1. Запишем систему в явном виде:

(2)

Запишем расширенную матрицу системы и будем делать элементарные преобразования со строками этой матрицы.
~ ~
На первом этапе преобразований в первом столбце, начиная со второй строки, получили, нули. Для этого использовали следующие элементарные преобразования: ко второй строке прибавили первую, к третьей и четвертой строкам прибавили первую, умноженную на ( –3).
~ ~ ~
На втором этапе преобразований получили нули во втором столбце, начиная с третьей строки. Для этого к третьей строке прибавили вторую, умноженную на ( –2), к четвертой cтроке прибавили вторую. Затем получили нули в третьем столбце четвертой строки, прибавив к четвертой строке третью. Для удобства дальнейших действий можно вынести из второй строки ( –1) и из четвертой - ( –2). Чтобы не изменился определитель матрицы A1, который нам нужно вычислить, вынесенный коэффициент ставим перед матрицей:
.
Определитель матрицы, преобразованной к треугольному виду, равен произведению чисел, стоящих на главной диагонали. Это можно показать, если разложить определитель по первому столбцу, получившийся после этого определитель вновь разложить по первому столбцу и т.д.:

Тогда с учетом стоящего перед матрицей коэффициента, |A1| = 6. Ранг матрицы A1 равен 4, ранг расширенной матрицы также равен четырем, ледовательно, система имеет единственное решение.

Рассмотрим два метода нахождения решения.
Метод 1. По полученной матрице выпишем преобразованную систему:

из которой последовательно определим значения неизвестных: - (3; –3; –1; 3).
Метод 2. С помощью элементарных преобразований полученную треугольную матрицу коэффициентов приведем к диагональному виду, для этого к третьей строке прибавим четвертую строку, умноженную на 2, ко второй и к первой строкам прибавим четвертую строку. Тем самым в четвертом столбце выше единицы четвертой строки получим нули. Продолжая аналогичные действия, приведем матрицу коэффициентов к диагональному виду:
~ ~ ~ ~
Теперь, разделив первую строку на 3, получаем единичную матрицу коэффициентов
~ 3· .
В выделенном столбце находятся решения исходной системы уравнений, так как полученная расширенная матрица соответствует следующей системе:
x1 = 3; ­ ­ ­ ­ ­ x2 = –3; ­ ­ ­ ­ ­ x3 = –1; ­ ­ ­ ­ ­ x4 = 3.
Полученное решение необходимо проверить, т.е. подставить в исходную систему (2).
Это удобнее всего сделать, введя матрицу решения X1 = ,
и умножая матрицу A1 на X1 справа. Если система решена верно, то результатом будет матрица B1.
Действительно A1 · X1 = = B1.



2. Запишем вторую систему A2 · X = B2 в явном виде:

По условию A1 = A2, т.е. вторая система отличается от первой только правыми частями, и главные определители у них равны, |A1| = |A2| = 6. Согласно теореме Крамера система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера: . Вычислим вспомогательные определители.
Определитель |Δ1| получается из главного определителя системы |A| заменой первого столбца на столбец правых частей:
; ­ ­ ­ ­ ­ .
Для вычисления этого определителя проведем предварительные преобразования. Преобразуем определитель |Δ1| так, чтобы в его первой строке на первом месте осталась единица, а на всех остальных местах нули. Для этого ко второму столбцу прибавим первый столбец, умноженный на (–2); к третьему – первый столбец, умноженный на (–1); к четвертому – первый столбец. А затем вычислим полученный определитель разложением его по первой строке:

Получившийся определитель третьего порядка также преобразуем. Вынесем из второго столбца 4, а затем с помощью второго столбца организуем нули на первом и третьем месте первой строки. Для этого к первому столбцу прибавим второй, умноженный на (–13); к третьему столбцу прибавим второй, умноженный на 7. Затем разложим полученный определитель по первой строке и, наконец, вычислим полученный определитель второго порядка:

Следовательно,
Определитель |Δ2| получается из главного определителя системы |A| заменой второго столбца на столбец правых частей:
|A| = 2| = .
Преобразуем определитель |Δ2| так, чтобы в его первом столбце на первом месте осталось число 3, а на всех остальных местах – нули. Для этого ко второй строке прибавим первую строку; к третьей – первую строку, умноженную на (–3); к четвертому – также первую строку, умноженную на (–3). А затем вычислим полученный определитель разложением его по первому столбцу:
2| =
Получившийся определитель третьего порядка преобразуем так, чтобы в третьем столбце на последнем месте стоял ноль. Для этого к третьей строке прибавим первую. Затем разложим полученный определитель по третьему столбцу и, наконец, вычислим полученный определитель второго порядка:

Следовательно, .
Определители |Δ3| и |Δ4| вычисляем аналогично, преобразуя и затем раскладывая по первому столбцу.


Откуда
Мы получили решение второй системы: или X2 = .
Сделаем проверку. A2·X2 = = B2.
Следовательно, система решена верно.

3. Проведем исследование третьей системы. Запишем систему A3 · X = B3 в явном виде:

(3)

Проведем необходимые элементарные преобразования над расширенной матрицей.

Определитель матрицы A3 равен нулю, ранг матрицы A3 равен 3 (одна нулевая строка в матрице ступенчатого вида), ранг расширенной матрицы равен 4 (нет нулевых строк). Так как ранги матрицы коэффициентов и расширенной матрицы не равны друг другу, то система (3) не имеет решения.

4. Рассмотрим четвертую систему. Запишем систему A4 · X = B4 в явном виде:

Проведем необходимые элементарные преобразования над расширенной матрицей:
.
Определитель матрицы A4 равен нулю, ранг матрицы A4 равен 2, ранг расширенной матрицы тоже равен 2. Так как ранги матриц равны, то система является совместной; ранг матрицы меньше числа неизвестных, следовательно, система является неопределенной. В преобразованной матрице жирным шрифтом выделен базисный минор. В качестве базисных неизвестных выберем x1 и x2 в, качестве свободных – x3, x4.
Перепишем полученную систему в виде

и введем x3 = C1 є R и x4 = C2 є R.
Окончательно получим x1 = 3 – C1 + C2; ­ ­ ­ ­ ­ x2 = 2 + C1 + 2C2.
Решение неопределенной системы удобно записывать в векторном виде, выделяя фундаментальную систему решений однородной и частное решение неоднородной систем.

Частное решение неоднородной системы Фундаментальное решение однородной системы

Для проверки и здесь удобно воспользоваться умножением матрицы A4 на матрицу X4, образованную из указанных выше трех векторов.

В полученной матрице первый столбец должен соответствовать вектору правых частей системы B4, а два других вектора должны быть нулевые, так как соответствующие решения являются решениями однородной системы уравнений.

Оформление отчета

В отчете по ТР должен быть представлены преобразования расширенных матриц каждой системы. Полученные решения должны быть проверены умножением матрицы коэффициентов на матрицу решений. В конце работы необходимо выписать общий ответ по следующему образцу:
1. Системы 1 и 2 – совместные, определенные.
|A1| = 6; ­ ­ ­ ­ ­ r (A1) = r (A1 | B1) = r (A1 | B2) = 4; ­ ­ ­ ­ ­ .
2. Система 3 – несовместная.
|A3| = 0; ­ ­ ­ ­ ­ r (A3) = 3; ­ ­ ­ ­ ­ r (A3 | B3) = 4.
3. Система 4 – совместная, неопределенная.
|A4| = 0; ­ ­ ­ ­ ­ r (A4) = r (A4 | B4) = 2; ­ ­ ­ ­ ­ .

 



©2015- 2019 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.