между ними. Действительная, мнимая части, аргумент и модуль.

Параметрические

x = x₁ +mt,

y = y₁ + nt,

z = z₁ + рt.

Через пересечение двух плоскостей.

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0,

A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0;

Направляющий вектор.

Направляющий вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или на параллельной ей прямой.

Его можно найти с помощью всех вышеперечисленных формул.

1. Уравнение плоскости. Нормаль

Теорема. Если в пространстве задана точка М₀(х₀, у₀, z₀), то уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ перпендикулярно вектору нормали (A, B, C) имеет вид:

A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0.

Доказательство. Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор . Т.к. вектор - вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору . Тогда скалярное произведение

×= 0

Таким образом, получаем уравнение плоскости

Нормаль — это прямая, ортогональная (перпендикулярная) касательному пространству (касательной прямой к кривой, касательно плоскости к поверхности и т. д.)

1. Взаимное расположение прямых в пространстве.

Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:

– прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;

– прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;

– прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;

– прямые совпадают.

Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямых и соответствуют следующие признаки:

– прямые и скрещивающиеся векторы не компланарны;

– прямые и пересекаются векторы компланарны, а векторы не коллинеарны;

– прямые и параллельные векторы коллинеарны, а векторы не коллинеарны;

– прямые и совпадают векторы коллинеарны.

1. Взаимное расположение плоскостей в пространстве

Две плоскости в пространстве могут быть либо параллельны, в частном случае совпадать друг с другом, либо пересекаться. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют собой частный случай пересекающихся плоскостей.

1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Пусть плоскость задана общим уравнением

,

а прямая L задана каноническими уравнениями

или параметрическими уравнениями

, ,

в которых – координаты нормального вектора плоскости , – координаты произвольной фиксированной точки прямой L, –

координаты направляющего вектора прямой L. Тогда:

1) если , то прямая L пересекает плоскость в точке, координаты которой можно найти из системы уравнений

; (7)

2) если и , то прямая лежит на плоскости;

3) если и , то прямая параллельна плоскости.

1. Расстояние между точками.

Расстояние между точками A₁ и A₂ можно вычислить по формуле

Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Если s= {m; n; p} - направляющий вектор прямой l, M₁(x₁,y₁, z₁) - точка лежащей на прямой, тогда расстояние от точки M₀(x₀, y₀, z₀) до прямой l можно найти, используя формулу

Расстояние между точкой и плоскостью вычисляется по следующей формуле:

где x₁, y₁ и z₁ координаты точки, а A, B, C и D коэффициенты из общего уравнения уравнения плоскости

Угол между прямыми

Угол между плоскостями

Если заданы уравнения плоскостей A₁x+ B₁y+ C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y+ C₂z + D₂ = 0, то угол между плоскостями можно найти, используя следующую формулу

Угол между прямой и плоскостью.

синус угла(между прямойи плоскостьюравен косинусу угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой) между прямой, направляющий вектор которой имеет координатыи плоскостью, заданной уравнениемвычисляется по формуле:

Комплексные числа. Определение. Операции. Формы записи и переход

между ними. Действительная, мнимая части, аргумент и модуль.

Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:

1. Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда

1. Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число

1. Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число

Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z = a + ib. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.

Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу:

Аргументом комплексного числа z = a + ib (z ≠ 0) называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором величина угла считается положительной, если угол отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.

Угол φ, аргумент комплексного числа, обозначается φ = arg z. Для числа z = 0 аргумент не определён.

1. Решение полиномиальных уравнений. Основная теорема алгебры.

10. Формула Муавра. Решение уравнений вида z^n = w,

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: