Сделай Сам Свою Работу на 5

между ними. Действительная, мнимая части, аргумент и модуль.





Параметрические

x = x1 +mt,

y = y1 + nt,

z = z1 + рt.

 

Через пересечение двух плоскостей.

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0;

 

Направляющий вектор.

Направляющий вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или на параллельной ей прямой.

Его можно найти с помощью всех вышеперечисленных формул.

 

  1. Уравнение плоскости. Нормаль

Теорема. Если в пространстве задана точка М00, у0, z0), то уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору нормали (A, B, C) имеет вид:

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

Доказательство. Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор . Т.к. вектор - вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору . Тогда скалярное произведение

×= 0

Таким образом, получаем уравнение плоскости

Нормаль — это прямая, ортогональная (перпендикулярная) касательному пространству (касательной прямой к кривой, касательно плоскости к поверхности и т. д.)

  1. Взаимное расположение прямых в пространстве.

Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:



– прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;

– прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;

– прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;

– прямые совпадают.


 

Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямых и соответствуют следующие признаки:

 

– прямые и скрещивающиеся векторы не компланарны;


– прямые и пересекаются векторы компланарны, а векторы не коллинеарны;

 

– прямые и параллельные векторы коллинеарны, а векторы не коллинеарны;

 

– прямые и совпадают векторы коллинеарны.

  1. Взаимное расположение плоскостей в пространстве

Две плоскости в пространстве могут быть либо параллельны, в частном случае совпадать друг с другом, либо пересекаться. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют собой частный случай пересекающихся плоскостей.

 

  1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Пусть плоскость задана общим уравнением

,

а прямая L задана каноническими уравнениями



или параметрическими уравнениями

, ,

в которых – координаты нормального вектора плоскости , – координаты произвольной фиксированной точки прямой L,

координаты направляющего вектора прямой L. Тогда:

1) если , то прямая L пересекает плоскость в точке, координаты которой можно найти из системы уравнений

; (7)

2) если и , то прямая лежит на плоскости;

3) если и , то прямая параллельна плоскости.

 

  1. Расстояние между точками.

 

Расстояние между точками A1 и A2 можно вычислить по формуле

Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Если s= {m; n; p} - направляющий вектор прямой l, M1(x1,y1, z1) - точка лежащей на прямой, тогда расстояние от точки M0(x0, y0, z0) до прямой l можно найти, используя формулу

d = |M0M1×s|
|s|

Расстояние между точкой и плоскостью вычисляется по следующей формуле:

где x1, y1 и z1 координаты точки, а A, B, C и D коэффициенты из общего уравнения уравнения плоскости

Угол между прямыми

Угол между плоскостями

Если заданы уравнения плоскостей A1x+ B1y+ C1z + D1 = 0 и A2x + B2y+ C2z + D2 = 0, то угол между плоскостями можно найти, используя следующую формулу

cos α= |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|
(A12 + B12 + C12)1/2(A22 + B22 + C22)1/2

Угол между прямой и плоскостью.

синус угла(между прямойи плоскостьюравен косинусу угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой) между прямой, направляющий вектор которой имеет координатыи плоскостью, заданной уравнениемвычисляется по формуле:

 

 

Комплексные числа. Определение. Операции. Формы записи и переход



между ними. Действительная, мнимая части, аргумент и модуль.

Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:

  1. Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда
a = c и b = d.
  1. Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число
a + c + i(b + d).
  1. Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число
ac – bd + i(ad + bc).

Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z = a + ib. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.

Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу:

Аргументом комплексного числа z = a + ib (z ≠ 0) называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором величина угла считается положительной, если угол отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.

Угол φ, аргумент комплексного числа, обозначается φ = arg z. Для числа z = 0 аргумент не определён.

 

  1. Решение полиномиальных уравнений. Основная теорема алгебры.

10. Формула Муавра. Решение уравнений вида z^n = w,

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.