Основные теоремы вероятностей

Тема: «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

1. Научно-методическое обоснование темы:

Теория вероятностей изучает закономерности, проявляющиеся при изучении таких экспериментов, конкретный результат которых до их проведения невозможно с определенностью предсказать. Так, при однократном подбрасывании монеты нельзя заранее определить, выпадет герб или цифра. В то же время результаты многочисленных экспериментов показывают, что герб и цифра выпадают примерно в одинаковом количестве. Таким образом, несмотря на случайных характер результата каждого эксперимента, существуют некоторые закономерности для результатов множества аналогичных экспериментов.

Многие случайные события могут быть количественно оценены случайными величинами, которые принимают значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств.

В практической деятельности медицинский работник постоянно имеет дело с такими величинами (число больных на приеме у врача, температура тела больного, артериальное давление крови, дозировка лекарственного препарата и т.п.). Поэтому надо знать, как получены эти величины, какова их точность. Математической базой этих вопросов являются теория вероятностей и математическая статистика.

2. Краткая теория:

Вероятность случайного события

Теория вероятностей - это раздел математики, изучающий закономерности, присущие случайным событиям массового характера.

Случайным называется событие, наступление которого нельзя достоверно предвидеть. В одних и тех же доступных наблюдению условиях оно может произойти, может и не произойти.

Совокупность условий, при которых наступает или не наступает данное случайное событие, называется испытанием.

Случайные события принято обозначать большими буквами латинского алфавита: A, B, C, D и т.д.

Относительной частотойслучайного события в данной серии испытаний или просто частотой случайного события А называют

отношение

(1)

где n- число независимых испытаний, в которых случайные событие А происходит m раз.

Вероятностьюслучайного события назовем предел, к которому стремится частота события при неограниченном увеличении числа испытаний

P (A) = , (2)

Это статистическое определение вероятности.

Если при испытаниях нет каких-либо причин, вследствие которых одно случайное событие появлялось бы чаще других (равновозможные события), то можно определить вероятность исходя из теоретических соображений:

Вероятностью случайного события можно назвать отношение благоприятствующих случаев к общему числу равновозможных несовместных событий:

Р (А)= , (3)

Это классическое определение вероятности.

Виды случайных событий

1. Событие, которое при данном испытании произойдет обязательно, называется достоверным, его вероятность равна 1.

Например, достоверным является событие, состоящее в извлечении наугад упаковки аспирина из ящика, в котором находятся только упаковки аспирина.

2. Событие, которое при данном испытании не может произойти, называется невозможным, его вероятность равна нулю.

Например, невозможным является событие, состоящее в извлечении наугад упаковки аспирина из ящика, в котором находятся только упаковки анальгина.

3. События называются несовместными, если появление любого из них в результате испытания исключает появление других.

Например, если событие А₁ состоит в выпадении цифры 1 при однократном бросании игрального кубика, событие А₂ - в выпадении цифры 2 и т.д., то события А_1, А₂,….., А₆ являются несовместными, поскольку осуществление любого из них исключает наступление остальных событий в этом испытании.

4. События называются совместными, если появление любого из них в результате испытания не исключает появления остальных.

Например, если событие А₁ состоит в выпадении цифры 1 при однократном бросании игрального кубика, а событие А₂ - в выпадении нечетного числа очков, то эти два события являются совместными, поскольку 1 является нечетным числом.

5. Событие В называется благоприятствующим для события А, если при наступлении события В обязательно наступает событие А.

6. События А и В называются независимыми, если вероятность наступления каждого из них не зависит от того, наступило ли при этом другое событие.

Например, при одновременном подбрасывании двух монет случайное событие А, состоящее в выпадении герба у одной монеты, и событие В, состоящее в выпадении герба у другой монеты, являются независимыми событиями.

7. Событие В называется зависимым от события А, если вероятность наступления события В зависит от того, произошло ли событие А.

Вероятность наступления события В, вычисленная при условии наступления события А, называется условной вероятностью события В и обозначается Р(В/А).

8. Если два события единственно возможны и несовместны, то их называют противоположными и обозначают А и :

Р(А)+Р( )=1

9. Система событий А₁, А₂,…, А_n называется полной, если в результате испытания обязательно наступает только одно из этих событий. Сумма вероятностей событий, образующих полную систему, равна единице:

Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n)=1

Основные теоремы вероятностей

Теорема сложения вероятностей. Вероятность наступления случайного события А или несовместного с ним события В равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А или В)=Р(А)+Р(В), (4)

Пример1. В коробке находятся 2 упаковки аспирина, 3 – анальгина и 5 – цитромона. Наугад извлекается одна упаковка, Какова вероятность того, что ею окажется упаковка аспирина или анальгина?

Решение. Вероятность извлечения упаковки аспирина (вероятность события А) в соответствии с формулой классической вероятности равна:

Р (А) = = 0,2

Аналогично, вероятность извлечения упаковки анальгина (вероятность события В) равна:

Р (В) = = 0,3.

Так как данные события являются несовместными (если извлечена упаковка аспирина, то при этом упаковка анальгина не извлечена, и наоборот), то для нахождения искомой вероятности в соответствии с теоремой сложения следует сложить найденные вероятности:

Р (А или В) = Р (А) + Р(В) = 0,2 +0,3 = 0,5

Теорема умножения вероятностей для независимых событий:

Вероятность наступления двух независимых случайных событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А и В )=Р(А) ∙ Р(В), (5)

Пользуясь этой теоремой, легко определить, например, вероятность выпадения гербов на двух подбрасываемых монетах. Поскольку событие А, состоящее в выпадении герба у первой монеты, и событие В, состоящее в выпадении герба у второй монеты, являются независимыми и вероятности каждого из них равны 0,5, то по формуле (5) получим:

Р (А и В) = Р(А) ∙ Р(В) = 0,5∙ 0,5 = 0,25

Теорема умножения вероятностей для зависимых событий:

Вероятность наступления случайного события А и зависящего от него события В равна произведению вероятности события А на условную вероятность события В:

Р(А и В)=Р(А) ∙ Р(В/А), (6)

Пример 2. В коробке находятся 2 упаковки аспирина и 3 упаковки анальгина. Наугад извлекают одну упаковку и , не возвращая ее в коробку, извлекают наугад еще одну упаковку. Найти вероятность того, что обе извлеченные упаковки окажутся с аспирином.

Решение. Пусть случайное событие А состоит в том, что первая извлеченная упаковка окажется с аспирином. Вероятность этого события в соответствии с классическим определением вероятности равна:

Р(А) = = 0,4

Случайное событие В, состоящее в том, что вторая извлеченная упаковка окажется с аспирином, является зависимым от события А, т.к. в случае наступления события А в коробке останется только одна упаковка с аспирином из четырех и вероятность события В будет равна

Р(В/А) = 0,25.

Тогда вероятность того, что обе извлеченные упаковки окажутся с аспирином, находится по формуле (6):

Р(А и В)=Р(А) ∙ Р(В/А) = 0,4 ∙ 0,25 = 0,1.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: